Question

【題目】如圖，已知頂點為的拋物線與軸交于，兩點，且．

（1）求點的坐標；

（2）求二次函數的解析式；

（3）作直線，問拋物線上是否存在點，使得．若存在，求出點的坐標：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點B的坐標為(6，0)；（2）二次函數的解析式為；（3）點M的坐標為或

【解析】

（1）由條件可知OC＝6，根據OB＝OC，可求出點B的坐標；
（2）將B，C兩點的坐標代入y＝ax2＋b，求出a，b的值，即可求得二次函數的解析式；
（3）根據題意，分M在BC上方和下方兩種情況進行解答，畫出相應的圖形，然后根據二次函數的性質和銳角三角函數可以求得點M的坐標．

解：（1）∵C(0，－6)

∴

∵

∴

∴點B的坐標為(6，0)

（2）∵拋物線（≠0）經過點C(0，－6)和點B(6，0)，

∴，解得

∴該二次函數的解析式為

（3）存在

①若點M在BC上方，設MC交軸于點D，則∠ODC=45°+15°=60°．

∴∠OCD=30°.

∴設OD=，則CD=2.

∵在Rt△OCD中，∠COD=90°，OC=6，

∴,

即，

解得（舍），.

∴點D的坐標為(，0).

設直線DC的函數解析式為

∴，解得

∴直線DC的函數解析式為

∴，解得（舍），

∴(,12)

②若點M在BC下方，設MC交軸于點E，則∠OEC=45°－15°=30°．

∵OC=6，則CE=12.

∵在Rt△OCE中，∠COE=90°，

∴=108,∴.

∴點E的坐標為(，0).

設直線EC的函數解析式為，

∴，解得

∴直線EC的函數解析式為

∴，解得（舍），.

∴

綜上所述，點M的坐標為或.