Question

（2007•大連）如圖①，小明在研究正方形ABCD的有關(guān)問題時(shí)，得出：“在正方形ABCD中，如果點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上的一點(diǎn)，且∠FAE=∠EAD，那么EF⊥AE”．他又將“正方形”改為“矩形”、“菱形”和“任意平行四邊形”（如圖②、圖③、圖④），其它條件不變，發(fā)現(xiàn)仍然有“EF⊥AE”結(jié)論．
你同意小明的觀點(diǎn)嗎？同意，請結(jié)合圖④加以證明；若不同意，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：延長AE交BC的延長線于點(diǎn)M，要證明EF⊥AE，只要證明△AFM是等腰三角形，再證明E是AM的中點(diǎn)就可以證得．
解答：解：同意小明的觀點(diǎn)．
證明：延長AE交BC的延長線于點(diǎn)M，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠M，
又∵DE=EC，∠AED=∠MEC，
∴△AED≌△MEC，則AE=EM，
∠EAD=∠FAE=∠M，
∴AF=FM，
∴FE⊥AE．
點(diǎn)評：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)：三線合一定理，把證明垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明等腰三角形底邊上的中線的問題．