Question

【題目】如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=α，若固定△ABC，將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．

（1）當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，如圖2，則此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為 （用含的式子表示）．

（2）當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小楊同學(xué)猜想：△BDC的面積與△AEC的面積相等，試判斷小楊同學(xué)的猜想是否正確，若正確，請(qǐng)你證明小楊同學(xué)的猜想．若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) 2α；(2)正確，理由詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）如圖2，利用互余得到∠BAC=90°﹣α，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ACD等于旋轉(zhuǎn)角，CD=CA，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠ACD=2α；

（2）過(guò)B作BN⊥CD于N，過(guò)E作EM⊥AC于M，如圖3，通過(guò)證明△CBN≌△CEM得到BN=EM，然后根據(jù)三角形的面積公式可判斷．

試題解析：（1）如圖2，∵∠C=90°，∠ABC=∠DEC=α，

∴∠BAC=90°﹣α，

∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D恰好落在AB邊上，

∴∠ACD等于旋轉(zhuǎn)角，CD=CA，

∴∠CAD=∠CDA=90°﹣α，

∴∠ACD=180°﹣2（90°﹣α）=2α，

即旋轉(zhuǎn)角為2α；

故答案為：2α；

（2）小揚(yáng)同學(xué)猜想是正確的，證明如下：

過(guò)B作BN⊥CD于N，過(guò)E作EM⊥AC于M，如圖3，

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，

∴∠1=∠3，

∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，

∴∠BNC=∠EMC=90°，

∵△ACB≌△DCE，

∴BC=EC，

在△CBN和△CEM中，

∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC，

∴△CBN≌△CEM，

∴BN=EM，

∵，，

∵CD=AC，

∴．