Question

先閱讀，再填空，再解答后面的相關問題：
（1）方程x²-x-2=0的根是x₁=2，x₂=-1，則x₁+x₂=1，x₁•x₂=-2
（2）方程2x²-3x-5=0的根是x1=-1，x2=

5

2

，則x1+x2=

3

2

，x1•x2=-

5

2

（3）方程3x²-2x-1=0的根是x₁=

-

1

3

，x₂=

1

，則x₁+x₂=

2

3

，x₁•x₂=

-

1

3

．
根據(jù)對以上（1）、（2）、（3）的觀察、思考，你能否猜出：如果關于x的一元二次方程mx²+nx+p=0（m≠0且m、n、p為常數(shù)且n²-4mp≥0）的兩根x₁、x₂，那么x₁+x₂、x₁•x₂與系數(shù)m、n、p有什么關系？請寫出你的猜想并說明理由．

Answer 1

分析：先由（1）、（2）、（3）得出方程的兩根與其系數(shù)的關系，找出規(guī)律即可得出關于x的一元二次方程mx²+nx+p=0（m≠0且m、n、p為常數(shù)且n²-4mp≥0）的兩根x₁、x₂，那么x₁+x₂、x₁•x₂與系數(shù)m、n、p的關系．

解答：解：（1）∵方程x²-x-2=0的二次項系數(shù)是1、一次項系數(shù)為-1，常數(shù)項為-2，
方程的根是x₁=2，x₂=-1，x₁+x₂=1，x₁•x₂=-2，
∴方程的兩根x₁+x₂=-

-1

1

=1，x₁•x₂=

-2

1

=-2；
（2）∵方程2x²-3x-5=0的二次項系數(shù)是2、一次項系數(shù)為-3，常數(shù)項為-5，
方程的根是x₁=-1，x₂=

5

2

，x₁+x₂=

3

2

，x₁•x₂=-

5

2

，
∴方程的兩根x₁+x₂=-

-3

2

=

3

2

，x₁•x₂=

-5

2

=-

5

2

；
（3）∵程3x²-2x-1=0的根是x₁=-

1

3

，x₂=1，
∵x₁+x₂=-

-2

3

=

2

3

，x₁•x₂=

-1

3

=-

1

3

，
∴關于x的一元二次方程mx²+nx+p=0（m≠0且m、n、p為常數(shù)且n²-4mp≥0）的兩根x₁、x₂，
則x₁+x₂=-

n

m

，x₁•x₂=

p

m

．

點評：本題考查的是根與系數(shù)的關系，由（1）、（2）、（3）中各方程的兩根之和與兩根之積與方程系數(shù)的關系找出規(guī)律是解答此題的關鍵．