Question

（1）如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點,P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點．若∠AMN=90°，求證：AM=MN．

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．

證明：在邊AB上截取AE=MC，連ME．

正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．

∴ ∠NMC=180°—∠AMN­—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．本試卷錫     

（下面請你完成余下的證明過程）

（2）若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2）,N是∠ACP的平分線上一點，則當∠AMN=60°時，結(jié)論AM=MN是否還成立？請說明理由．

 

Answer 1

 

（1）證明略

（2）證明略

解析:解：（1）∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°, ∴∠AEM=135°,

            ∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°

            在△AEM和△MCN中：∵∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

    （2）仍然成立．

        在邊AB上截取AE=MC，連接ME

        ∵△ABC是等邊三角形，

        ∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，

        ∴∠ACP=120°．

        ∵AE=MC，∴BE=BM

        ∴∠BEM=∠EMB=60°

        ∴∠AEM=120°．

        ∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，

        ∴∠AEM=∠MCN=120°

        ∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM

        ∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN