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（本小題10分）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM.

（Ⅰ） 求證：△AMB≌△ENB；

（Ⅱ） ①當M點在何處時，AM＋CM的值最小；

②當M點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；

（Ⅲ） 當AM＋BM＋CM的最小值為時，求正方形的邊長.

 

 

【答案】

解：⑴∵△ABE是等邊三角形，

∴BA＝BE，∠ABE＝60°.

∵∠MBN＝60°，

∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.

即∠ABM＝∠NBE.

又∵MB＝NB，

∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………3分

⑵①當M點落在BD的中點時，AM＋CM的值最小. ………………5分

②如圖，連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，

AM＋BM＋CM的值最小.                          ………………7分

理由如下：連接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，

∴AM＝EN.

∵∠MBN＝60°，MB＝NB，

∴△BMN是等邊三角形.

∴BM＝MN.

∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.

根據“兩點之間線段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短

∴當M點位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長. …………8分

⑶過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，

∴∠EBF＝90°－60°＝30°.

設正方形的邊長為x，則BF＝x，EF＝.

在Rt△EFC中，

∵EF2＋FC2＝EC2，

∴（）2＋（x＋x）2＝.

解得，x＝（舍去負值）.

∴正方形的邊長為.                           ………………10分          

【解析】略

 

練習冊系列答案
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（11·湖州）（本小題10分）

如圖，已知E、F分別是□ABCD的邊BC、AD上的點，且BE=DF。

⑴求證：四邊形AECF是平行四邊形；

⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四邊形AECF是菱形，求BE的長。

 

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（11·湖州）（本小題10分）
如圖，已知E、F分別是□ABCD的邊BC、AD上的點，且BE=DF。
⑴求證：四邊形AECF是平行四邊形；
⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四邊形AECF是菱形，求BE的長。

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科目：初中數學 來源：2011-2012學年江蘇省啟東市九年級寒假作業(yè)檢測數學卷 題型：解答題

（本小題10分）

如圖，拋物線與x軸交與A(1,0),B(- 3，0)兩點，

1.（1）求該拋物線的解析式；

2.（2）拋物線交y軸與C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.

 

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1.(1)求A、B兩點的坐標；

2. (2) 求出此拋物線的的解析式及頂點D的坐標；

3.(3)求出此拋物線與x軸的另一個交點C的坐標;

4.(4)在直線BC上是否存在一點P，使四邊形PDCO為梯形？若存在，求出P點坐標，若不存在，說明理由.

 

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科目：初中數學 來源：2011年初中畢業(yè)升學考試（四川內江卷）數學 題型：解答題

（本小題10分）如圖11，已知二次函數y= -x2 +mx +4m的圖象與x軸交于

A(x1，0)，B(x2，0)兩點(B點在A點的右邊)，與y軸的正半軸交于點C，且(x1+x2) - x1x2=10.

（1）求此二次函數的解析式.

（2）寫出B，C兩點的坐標及拋物線頂點M的坐標；

（3）連結BM，動點P在線段BM上運動（不含端點B，M），過點P作x軸的垂線，垂足為H，設OH的長度為t，四邊形PCOH的面積為S.請?zhí)骄浚核倪呅蜳COH的面積S有無最大值？如果有，請求出這個最大值；如果沒有，請說明理由.

 

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