【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點O為坐標(biāo)原點,直線l與拋物線相交于A(1,),B(4,0)兩點.
(1)求出拋物線的解析式;
(2)在坐標(biāo)軸上是否存在點D,使得△ABD是以線段AB為斜邊的直角三角形?若存在,求出點D的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)點P是線段AB上一動點,(點P不與點A、B重合),過點P作PM∥OA,交第一象限內(nèi)的拋物線于點M,過點M作MC⊥x軸于點C,交AB于點N,若△BCN、△PMN的面積S△BCN、S△PMN滿足S△BCN=2S△PMN,求出的值,并求出此時點M的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)D(1,0)或(0,)或(0,);(3),M(,).
【解析】
試題分析:(1)由A、B兩點的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
(2)分D在x軸上和y軸上,當(dāng)D在x軸上時,過A作AD⊥x軸,垂足D即為所求;當(dāng)D點在y軸上時,設(shè)出D點坐標(biāo)為(0,d),可分別表示出AD、BD,再利用勾股定理可得到關(guān)于d的方程,可求得d的值,從而可求得滿足條件的D點坐標(biāo);
(3)過P作PF⊥CM于點F,利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函數(shù),可用PF分別表示出MF和NF,從而可表示出MN,設(shè)BC=a,則可用a表示出CN,再利用S△BCN=2S△PMN,可用PF表示出a的值,從而可用PF表示出CN,可求得的值;借助a可表示出M點的坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得a的值,從而可求出M點的坐標(biāo).
試題解析:
(1)∵A(1,),B(4,0)在拋物線的圖象上,∴,解得,∴拋物線解析式為;
(2)存在三個點滿足題意,理由如下:
①當(dāng)點D在x軸上時,如圖1,過點A作AD⊥x軸于點D,∵A(1,),∴D坐標(biāo)為(1,0);
②當(dāng)點D在y軸上時,設(shè)D(0,d),則,,且,∵△ABD是以AB為斜邊的直角三角形,∴
,即,解得d=,∴D點坐標(biāo)為(0,)或(0,);
綜上可知存在滿足條件的D點,其坐標(biāo)為(1,0)或(0,)或(0,);
(3)如圖2,過P作PF⊥CM于點F,∵PM∥OA,∴Rt△ADO∽Rt△MFP,∴=,∴MF=PF,在Rt△ABD中,BD=3,AD=,∴tan∠ABD=,∴∠ABD=60°,設(shè)BC=a,則CN=a,在Rt△PFN中,∠PNF=∠BNC=30°,∴tan∠PNF=,∴FN=PF,∴MN=MF+FN=PF,∵S△BCN=2S△PMN,∴,∴a=PF,∴NC=a=PF,∴==,∴MN=NC==a,∴MC=MN+NC=()a,∴M點坐標(biāo)為(4﹣a,()a),又M點在拋物線上,代入可得=()a,解得a=或a=0(舍去),OC=4﹣a=,MC=,∴點M的坐標(biāo)為(,).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,有一個面積為1的正方形,經(jīng)過一次“生長”后,在它的左右肩上生出兩個小正方形,如圖2,其中,三個正方形圍成的三角形是直角三角形.再經(jīng)過一次“生長”后,變成圖3;“生長”10次后,如果繼續(xù)“生長”下去,它將變得更加“枝繁葉茂”.
隨著不斷地“生長”,形成的圖形中所有正方形的面積和也隨之變化.若生長n次后,變成的圖中所有正方形的面積用Sn表示,求回答:
(1)S0= ,S1= ,S2= ,S3= ;
(2)S0+S1+S2+…+S10= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列一元二次方程中,兩實數(shù)根的和等于﹣4的是( 。
A.x2+2x﹣4=0
B.x2﹣2x+4=0
C.x2﹣4x﹣5=0
D.x2+4x﹣5=0
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】微電子技術(shù)的不斷進(jìn)步,使半導(dǎo)體材料的精細(xì)加工尺寸大幅度縮。撤N電子元件的面積大約為0.000 000 7平方毫米,用科學(xué)記數(shù)法表示為平方毫米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C(0,),頂點為D,對稱軸與x軸交于點H,過點H的直線l交拋物線于P,Q兩點,點Q在y軸的右側(cè).
(1)求a的值及點A,B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)直線l將四邊形ABCD分為面積比為3:7的兩部分時,求直線l的函數(shù)表達(dá)式;
(3)當(dāng)點P位于第二象限時,設(shè)PQ的中點為M,點N在拋物線上,則以DP為對角線的四邊形DMPN能否為菱形?若能,求出點N的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種品牌的手機(jī)經(jīng)過四、五月份連續(xù)兩次降價,每部售價由1000元降到了810元.則平均每月降價的百分率為( 。
A.9.5%
B.20%
C.10%
D.11%
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:多項式A=2x2﹣xy,B=x2+xy﹣6,求:
(1)4A﹣B;
(2)當(dāng)x=1,y=﹣2時,4A﹣B的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過點A,BD⊥直線m,CE⊥直線m,垂足分別為點D、E.證明:DE=BD+CE.
(2)如圖2,將(1)中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三點都在直線m上,并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.
(3)拓展與應(yīng)用:如圖3,D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點(D、A、E三點
互不重合),點F為∠BAC平分線上的一點,且△ABF和△ACF均為等邊三角形,連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,試判斷△DEF的形狀.
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