Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）如圖2，位于軸右側(cè)且垂直于軸的動直線沿軸正方向從運(yùn)動到(不含點(diǎn)和點(diǎn))，分別與拋物線、直線以及軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析；（3）最大值為．

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法求出解析式；

(2) 設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0，m)，過點(diǎn)M做MH⊥y軸于點(diǎn)H，證得△MHN∽△NOB，利用對應(yīng)邊成比例，得到，方程無實(shí)數(shù)解，所以假設(shè)錯誤，不存在；

(3) △PQE∽△BOC，得，得到，當(dāng)PE最大時，最大，求得直線的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，則E，再求得PE的最大值，從而求得答案．

(1) 把點(diǎn)A（-2，0）、B（8，0）、C（0，4）分別代入，得：

，

解得，

則該拋物線的解析式為：；

(2)不存在

∵拋物線經(jīng)過A（-2，0）、B（8，0），

∴拋物線的對稱軸為，

將代入得：，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為： ，

假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使∠MNB=90，

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0，m)，過頂點(diǎn)M做MH⊥y軸于點(diǎn)H，

∴∠MNH+∠ONB=90，∠MNH+∠HMN=90，

∴∠HMN=∠ONB，

∴△MHN∽△NOB，

∴，

∵B（8，0），N (0，m)， ，

∴，

∴，

整理得：，

∵，

∴方程無實(shí)數(shù)解，所以假設(shè)錯誤，

在軸上不存在點(diǎn)，使∠MNB=90；

(3) ∵PQ⊥BC，PF⊥OB，

∴，

∴EF∥OC，

∴，

∴△PQE∽△BOC，

得，

∵B（8，0）、C（0，4），

∴，，，

∴，

∴，

∴當(dāng)PE最大時，最大，

設(shè)直線的解析式為，

將B（8，0）、C（0，4）代入得，

解得：，

∴直線的解析式為，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，

則點(diǎn)E的坐標(biāo)為，

∴，

∵，

∴當(dāng)時，有最大值為4，

∴最大值為．