Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，直線y =－2x－1與y軸交于點(diǎn)A，與直線y =－x交于點(diǎn)B, 點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C.

（1）求過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）P為拋物線上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q.

①當(dāng)四邊形PBQC為菱形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（－1＜t＜1），當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PBQC面積最大，并說明理由.

Answer 1

解：（1）解方程組得

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，1）.························ 1分

∵點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-1）.························ 2分

又∵點(diǎn)A是直線y=-2x-1與y軸的交點(diǎn)，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-1）.························ 3分

設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，

∴解得

∴拋物線的解析式為y=x²-x-1.······················ 5分

（2）①如圖1，∵點(diǎn)P在拋物線上，

∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m²-m-1）.

當(dāng)四邊形PBQC是菱形時(shí)，O為菱形的中心，

∴PQ⊥BC，即點(diǎn)P，Q在直線y = x上，

∴m = m²-m-1，····························· 7分

解得m = 1±.···························· 8分

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+，1+）或（1-，1-）.··········· 9分

 

圖1                                      圖2

②方法一：

如圖2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t² - t - 1）.

過點(diǎn)P作PD∥y軸，交直線y = - x于點(diǎn)D，則D（t，- t）.

分別過點(diǎn)B，C作BE⊥PD，CF⊥PD，垂足分別為點(diǎn)E，F.

∴PD = - t -( t² - t -1) = - t² + 1，BE + CF = 2，··········· 10分

∴S_△PBC＝PD·BE +PD·CF

＝PD·（BE + CF）

＝（- t² + 1）×2

＝- t² + 1.··························· 12分

∴＝-2t²+2.

∴當(dāng)t＝0時(shí)，有最大值2. ···················· 13分

方法二：

如圖3，過點(diǎn)B作y軸的平行線，過點(diǎn)C作x軸的平行線，兩直線交于點(diǎn)D，連接PD.

∴S_△PBC＝S_△BDC-S_△PBD-S_△PDC

＝×2×2-×2（t+1）-×2（t²-t-1+1）

＝-t²+1.···························· 12分

∴＝-2t²+2.

∴當(dāng)t＝0時(shí)，有最大值2. ···················· 13分

 

圖3                                   圖4

方法三：如圖4，過點(diǎn)P作PE⊥BC，垂足為E，作PF∥x軸交BC于點(diǎn)F.

∴PE=EF.

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t²-t-1），

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-t²+t+1，t²-t-1）.

∴PF=-t²+t+1-t=-t²+1.

∴PE＝（-t²+1）.·························· 11分

∴S_△PBC＝BC·PE＝××（-t²+1）

＝-t²+1.···························· 12分

∴＝-2t²+2.

∴當(dāng)t＝0時(shí)，有最大值2.