配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法,它的應(yīng)用十分非常廣泛,在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它.下面我們就求函數(shù)的極值,介紹一下配方法.
例:已知代數(shù)式a2+6a+2,當a=______時,它有最小值,是______.
解:a2+6a+2=a2+6a+9-9+2=(a+3)2-9+2=(a+3)2-7
因為(a+3)2≥0,所以(a+3)2-7≥-7.
所以當a=-3時,它有最小值,是-7.
參考例題,試求:
(1)填空:當a=______時,代數(shù)式(a-3)2+5有最小值,是______.
(2)已知代數(shù)式a2+8a+2,當a為何值時,它有最小值,是多少?
解:(1)∵(a-3)2≥0,
∴(a-3)2+5≥5,
∴當a=3時,它有最小值,是5.
故答案為3,5;
(2)∵a2+8a+2=a2+8a+16-16+2=(a+4)2-14,
∴當a+4=0,即a=-4時,(a+4)2-14最小,
∴當a為-4時,a2+8a+2有最小值,是-14.
分析:(1)根據(jù)平方的非負性,可知當a=3時,(a-3)2取最小值0,所以當a=3時,(a-3)2+5有最小值,易求此值;
(2)先運用配方法變形a2+8a+2=(a+4)2-14;得出(a+4)2-14最小時,即(a+4)2=0,然后得出答案.
點評:本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)和配方法的應(yīng)用,注意任意數(shù)的偶次方的最小值是0,(2)中運用配方法將a2+8a+2變形為(a+4)2-14是解題的關(guān)鍵.