Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，AB⊥x軸于B，AC⊥y軸于C，點C(0，4)，A(4，4)，過C點作∠ECF分別交線段AB、OB于E、F兩點.

（1）若OF+BE=AB，求證：CF=CE.

（2）如圖2，∠ECF=45°， S△ECF=6，求S△BEF的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）S△BEF的值為4.

【解析】

（1）根據(jù)條件證出四邊形ABOC是正方形，然后證明△COF≌△CAE即可；

（2）在x軸上截取OG=AE，連接CG，證明△COG≌△CAE，進而證出△GCF≌△ECF，根據(jù)全等三角形的面積相等得出S△COF+S△ACE =6，然后利用S△BEF=S四邊形ABOC-（S△COF+S△ACE+S△ECF）計算即可．

（1）證明：∵AB⊥x軸，AC⊥y軸，A（4，4），

∴AB=AC=OC=OB，∠ACO=∠COB=∠ABO=90°，

又∵四邊形的內(nèi)角和是360°，

∴∠A=90°，

∵OF+BE=AB=BE+AE，

∴AE=OF，

∴在△COF和△CAE中，

，

∴△COF≌△CAE（SAS），

∴CF=CE；

（2）在x軸上截取OG=AE，連接CG，

在△COG和△CAE中，

，

∴△COG≌△CAE（SAS），

∴CG=CE，∠GCO=∠ACE，

∵∠ECF=45°，

∴∠ACE+∠FCO=∠ACO-∠ECF=45°，

∴∠GCF=∠GCO+∠FCO=∠ACE+∠FCO=45°，

∴∠GCF=∠ECF，

在△GCF和△ECF中，

，

∴△GCF≌△ECF（SAS），

∴S△GCF=S△ECF=6，

∵S△COG=S△ACE，

∴S△COF+S△ACE= S△COF +S△COG=S△GCF=6，

∵S四邊形ABOC=16，

∴S△BEF=S四邊形ABOC-（S△COF+S△ACE+S△ECF）=4．