【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),PC切⊙O于點(diǎn)C,CG是⊙O的弦,CG⊥AB,垂足為D.
(1)求證:∠PCA=∠ABC.
(2)過點(diǎn)A作AE∥PC交⊙O于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,連接BE,若cos∠P=,CF=10,求BE的長(zhǎng)
【答案】(1)證明見解析;(2)BE=24.
【解析】(1)連接半徑OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得:OC⊥PC,由圓周角定理得:∠ACB=90°,所以∠PCA=∠OCB,再由同圓的半徑相等可得:∠OCB=∠ABC,從而得結(jié)論;
(2)先證明∠CAF=∠ACF,則AF=CF=10,根據(jù)cos∠P=cos∠FAD=,可得AD=8,FD=6,得CD=CF+FD=16,設(shè)OC=r,OD=r﹣8,根據(jù)勾股定理列方程可得r的值,再由三角函數(shù)cos∠EAB=,可得AE的長(zhǎng),從而計(jì)算BE的長(zhǎng).
詳解:證明:(1)連接OC,交AE于H,
∵PC是⊙O的切線,
∴OC⊥PC,
∴∠PCO=90°,
∴∠PCA+∠ACO=90°,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACO+∠OCB=90°,
∴∠PCA=∠OCB,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠ABC,
∴∠PCA=∠ABC;
(2)∵AE∥PC,
∴∠CAF=∠PCA,
∵AB⊥CG,
∴,
∴∠ACF=∠ABC,
∵∠ABC=∠PCA,
∴∠CAF=∠ACF,
∴AF=CF=10,
∵AE∥PC,
∴∠P=∠FAD,
∴cos∠P=cos∠FAD=,
在Rt△AFD中,cos∠FAD=,AF=10,
∴AD=8,
∴FD==6,
∴CD=CF+FD=16,
在Rt△OCD中,設(shè)OC=r,OD=r﹣8,
r2=(r﹣8)2+162,
r=20,
∴AB=2r=40,
∵AB是直徑,
∴∠AEB=90°,
在Rt△AEB中,cos∠EAB=,AB=40,
∴AE=32,
∴BE==24.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2017四川省涼山州,第24題,8分)為了推進(jìn)我州校園籃球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展,2017年四川省中小學(xué)生男子籃球賽于2月在西昌成功舉辦.在此期間,某體育文化用品商店計(jì)劃一次性購進(jìn)籃球和排球共60個(gè),其進(jìn)價(jià)與售價(jià)間的關(guān)系如下表:
(1)商店用4200元購進(jìn)這批籃球和排球,求購進(jìn)籃球和排球各多少個(gè)?
(2)設(shè)商店所獲利潤(rùn)為y(單位:元),購進(jìn)籃球的個(gè)數(shù)為x(單位:個(gè)),請(qǐng)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出x的取值范圍);
(3)若要使商店的進(jìn)貨成本在4300元的限額內(nèi),且全部銷售完后所獲利潤(rùn)不低于1400元,請(qǐng)你列舉出商店所有進(jìn)貨方案,并求出最大利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知P(1,2).
(1)在平面直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)P(保留畫圖痕跡);
(2)如果將點(diǎn)P向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P',則點(diǎn)P'的坐標(biāo)為 .
(3)點(diǎn)A在坐標(biāo)軸上,若S△OAP=2,直接寫出滿足條件的點(diǎn)A的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,C為線段AB上一點(diǎn),點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),且AB=18cm,AC=4CD.
(1)圖中共有 條線段;
(2)求AC的長(zhǎng);
(3)若點(diǎn)E在直線AB上,且EA=2cm,求BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)軸上有A,B兩點(diǎn),分別表示﹣40,20,甲、乙兩只螞蟻分別從A,B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),甲沿線段AB方向以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng),甲到達(dá)點(diǎn)B處時(shí)運(yùn)動(dòng)停止;乙沿線段BA方向以5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng).
(1)求甲、乙第一次相遇點(diǎn)所表示的數(shù).
(2)求經(jīng)過多少秒時(shí),甲、乙相距28個(gè)單位長(zhǎng)度?
(3)若乙到達(dá)A點(diǎn)后立刻掉頭追趕甲(速度保持不變),則在甲到達(dá)B點(diǎn)前,甲、乙是否還能再次相遇?若能,求出相遇點(diǎn)所表示的數(shù);若不能,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC中,AB=AC.
(1)如圖1,在△ADE中,若AD=AE,且∠DAE=∠BAC,求證:CD=BE;
(2)如圖2,在△ADE中,若∠DAE=∠BAC=60°,且CD垂直平分AE,AD=6,CD=8,求BD的長(zhǎng)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商家計(jì)劃平均每天銷售滑板車100輛,但實(shí)際的銷售量與計(jì)劃量有出入,下表是某周的銷售情況(超額記為正,不足記為負(fù)):
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
與計(jì)劃數(shù)的差值 |
(1)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知該商家前三天共銷售滑板車______輛;(直接寫答案)
(2)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知銷售量最多的一天比銷售量最少的-天多銷售多少輛?
(3)本周實(shí)際銷售量是多少?
(4)該商家實(shí)行每周計(jì)件工資制,每銷售一輛車可得40元,若超額完成任務(wù),則超過部分每輛另獎(jiǎng)20元,少銷售一輛扣25元,那么該商家的銷售人員這一周的工資總額是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知A(﹣2,0),B(4,0),拋物線y=ax2+bx﹣1過A、B兩點(diǎn),并與過A點(diǎn)的直線y=﹣x﹣1交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線解析式及對(duì)稱軸;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使四邊形ACPO的周長(zhǎng)最?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)點(diǎn)M為y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn),過點(diǎn)M作直線AC的垂線,垂足為N.問:是否存在這樣的點(diǎn)N,使以點(diǎn)M、N、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似,若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】完成下面推理過程:
如圖,已知∠1 =∠2,∠B =∠C,可推得AB∥CD.理由如下:
∵∠1 =∠2(已知),
且∠1 =∠CGD(______________________ ),
∴∠2 =∠CGD(等量代換).
∴CE∥BF(___________________________).
∴∠ =∠C(__________________________).
又∵∠B =∠C(已知),
∴∠ =∠B(等量代換).
∴AB∥CD(________________________________).
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