Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，將此正方形置于直角坐標(biāo)系xOy中，使AB在x軸上，對(duì)角線的交點(diǎn)E在直線y=x-1上．
（1）按題設(shè)條件畫出直角坐標(biāo)系xOy，并求出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；
（2）若直線y=x-1與y軸相交于G點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c過(guò)G、A、B三點(diǎn)，求拋物線的解析式及點(diǎn)G關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在（2）中的拋物線上且位于X軸上方處是否存在點(diǎn)P，使三角形PAM的面積最大？若存在，求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由AB在x軸上，對(duì)角線的交點(diǎn)E在直線y=x-1上，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，又由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，即可求得點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)，則結(jié)合題意畫圖即可；
（2）首先直線y=x-1與y軸相交于G點(diǎn)，求得G的坐標(biāo)，然后設(shè)此拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-3），由待定系數(shù)法求解即可拋物線的解析式，求得其對(duì)稱軸，則可得點(diǎn)G關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）首先設(shè)P（x，-

1

3

（x-2）²+

1

3

），然后由S_△PAM=S_△PAB+S_△MAB，根據(jù)二次函數(shù)求最值問(wèn)題的求解方法，即可求得答案．

解答：解：（1）∵AB在x軸上，對(duì)角線的交點(diǎn)E在直線y=x-1上，
當(dāng)y=0時(shí)，x=1，
∴點(diǎn)A（1，0），
結(jié)合題意畫圖：（2分）
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，
∴A（1，0）B（3，0）C（3，2）D（1，2）；（4分）

（2）設(shè)此拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-3），
∵直線y=x-1與y軸相交于G點(diǎn)，
∴G（0，-1），
∴3a=-1，
∴a=-

1

3

，
∴函數(shù)解析式：y=-

1

3

（x-1）（x-3）=-

1

3

（x-2）²+

1

3

，
∴此函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=2，
∴M（4，-1）（8分）

（3）存在（9分）
∵AB=2，
設(shè)P（x，-

1

3

（x-2）²+

1

3

），
∴S_△PAM=S_△PAB+S_△MAB=

1

2

×2×[-

1

3

（x-2）²+

1

3

]+

1

2

×2×1=-

1

3

（x-2）²+

4

3

．
∴當(dāng)x=2時(shí)，△PAM的面積最大，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，

1

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形面積的求解方法以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，二次函數(shù)的對(duì)稱性等知識(shí)此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．