Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，點P為邊AC上一點，且AP＝5cm．點Q為邊AB上的任意一點（不與點A，B重合），若點A關于直線PQ的對稱點A'恰好落在△ABC的邊上，則AQ的長為_____cm．

Answer 1

【答案】或4．

【解析】

由對稱可知AP=A'P，AQ=A'Q，由勾股定理可計算A'C，A'P，作A'H⊥AB構造直角三角形，用勾股定理列方程組即可計算AQ的長．

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，

∴BC＝6cm，

①若點A'落在BC上，如圖：

點A關于直線PQ的對稱點A'，

∵點A關于直線PQ的對稱點A'，

∴A'Q＝AQ，AP＝A'P，

∵AP＝5，

∴PC＝3，A'C＝4，A'B＝2，

∴A'A＝4，

作A'H垂直AB，由勾股定理可得：

，

設AQ＝AQ'＝x，BH＝y，

∴，

解得：，

故AQ的長為．

②若點A'落在AB上，如圖：

∵點A關于直線PQ的對稱點A'，

∴PQ⊥AB，

∴△APQ～△ABC，

∴，

∴，

∴AQ＝4．

綜上所述：若點A關于直線PQ的對稱點A'恰好落在△ABC的邊上，則AQ的長為或4cm．

故答案為或4．