【題目】如圖①,已知拋物線(xiàn)C1:y=a(x+1)2﹣4的頂點(diǎn)為C,與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及a 的值;

(2)如圖②,拋物線(xiàn)C2與C1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),將拋物線(xiàn)C2向右平移4個(gè)單位,得到拋物線(xiàn)C3.C3與x軸交于點(diǎn)B、E,點(diǎn)P是直線(xiàn)CE上方拋物線(xiàn)C3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn),交CE于點(diǎn)F.

①求線(xiàn)段PF長(zhǎng)的最大值;

②若PE=EF,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)a=1;頂點(diǎn)C為(﹣1,﹣4).(2)①當(dāng)x=時(shí),PF有最大值為;②P).

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可直接求得頂點(diǎn)C的坐標(biāo),把B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得a的值;

(2)①C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),且二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù),據(jù)此即可求得C2的解析式,然后根據(jù)平移的性質(zhì)求得C3的解析式.利用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)CE的解析式,則PF的長(zhǎng)即可利用x表示出來(lái),然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得PF的最大值;

②PE=EF則P和F關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),即縱坐標(biāo)互為相反數(shù),據(jù)此即可列方程求解.

解:(1)頂點(diǎn)C為(﹣1,﹣4).

點(diǎn)B(1,0)在拋物線(xiàn)C1上,0=a(1+1)2﹣4,解得,a=1;

(2)①C2與C1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),

拋物線(xiàn)C2的表達(dá)式為y=﹣(x+1)2+4,

拋物線(xiàn)C3由C2平移得到,

拋物線(xiàn)C3為y=﹣(x﹣3)2+4=﹣x2+6x﹣5,

E(5,0),

設(shè)直線(xiàn)CE的解析式為:y=kx+b,

,解得,

直線(xiàn)BC的解析式為y=x﹣,

設(shè)P(x,﹣x2+6x﹣5),則F(x,x﹣),

PF=(﹣x2+6x﹣5)﹣(x﹣)=﹣x2+x﹣=﹣(x﹣2+,

當(dāng)x=時(shí),PF有最大值為;

②若PE=EF,PFx軸,

x軸平分PF,

﹣x2+6x﹣5=﹣x+,

解得x1=,x2=5(舍去)

P,).

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(2)從上表中你發(fā)現(xiàn)了BICBDI之間有何數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)寫(xiě)出來(lái),并說(shuō)明其中的道理.

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