【題目】如圖,正方形ABCD中,對角線AC上有一點P,連接BP、DP,過點PPEPBCD于點E,連接BE.

(1)求證:BP=EP;

(2)若CE=3,BE=6,求∠CPE的度數(shù);

(3)探究AP、PC、BE之間的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.

【答案】(1)證明見解析;(2)EBC=30°;(3)BE2=AP2+PC2,理由見解析.

【解析】試題分析:(1)利用正方形的性質(zhì)得出△CBP≌△CDP,得出BPDP,利用四邊形的內(nèi)角和,得出EPDP,從而得出結(jié)論;(2)取BE的中點F,得出△CEF是等邊三角形,利用撒尿行內(nèi)角和定理,得出∠EPC=30°;(3)過點PPC/AC,得出△BPC≌△EPC/, 近而得出四邊形ABEC/為平行四邊形,在Rt△APC/中,利用勾股定理得出結(jié)論即可.

試題解析:

(1)∵ 四邊形ABCD是正方形,∴CBCD,AC平分∠BCD, 即 ∠BCP=∠DCP,

CP是公共邊 所以△CBP≌△CDPBPDP, ∠PBC=∠PDC

∵ ∠BPE-∠BCE=90°,∠BPE+∠BCE+∠PBC+∠PEC=360°∴∠PBC+∠PEC=90°

∵ ∠PED+∠PEC=90°∴∠PED=∠PBC∴∠PED=∠PDCEPDP,

BPDP

(2)取BE的中點F,連CF,則CECFEF=3, ∴△CEF是等邊三角形,則∠BEC=60°,

∵∠BCE=90°,∴∠EBC+∠BEC=90°, ∴∠EBC =30°, ∵∠EBC+∠BCP=∠PEB+∠EPC,

PEB=∠BCP=45°∴∠EBC =∠EPC=30°﹒

(3)過點PPC/AC,交CD的延長線于C/,得△BPC≌△EPC/, CP=C/P,BCEC/,

ABBC,∴ABEC/ABEC/∴四邊形ABEC/為平行四邊形,∴AC/BE,

∵在Rt△APC/中,C/A2AP2+C/P2BE2AP2+PC2

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