Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半徑為2cm的⊙O在矩形內(nèi)且與AB、AD均相切．現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在矩形邊上沿著A→B→C→D的方向勻速移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)D點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)；⊙O在矩形內(nèi)部沿AD向右勻速平移，移動(dòng)到與CD相切時(shí)立即沿原路按原速返回，當(dāng)⊙O回到出發(fā)時(shí)的位置（即再次與AB相切）時(shí)停止移動(dòng)．已知點(diǎn)P與⊙O同時(shí)開始移動(dòng)，同時(shí)停止移動(dòng)（即同時(shí)到達(dá)各自的終止位置）

（1）如圖①，點(diǎn)P從A→B→C→D，全程共移動(dòng)了   cm（用含a、b的代數(shù)式表示）；

（2）如圖①，已知點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，移動(dòng)2s到達(dá)B點(diǎn)，繼續(xù)移動(dòng)3s，到達(dá)BC的中點(diǎn)．若點(diǎn)P與⊙O的移動(dòng)速度相等，求在這5s時(shí)間內(nèi)圓心O移動(dòng)的距離；

（3）如圖②，已知a=20，b=10．是否存在如下情形：當(dāng)⊙O到達(dá)⊙O₁的位置時(shí)（此時(shí)圓心O₁在矩形對(duì)角線BD上），DP與⊙O₁恰好相切？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）a+2b．

（2）∵在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P移動(dòng)的距離為cm，

圓心O移動(dòng)的距離為cm，

由題意，得．    ①

∵點(diǎn)P移動(dòng)2s到達(dá)B點(diǎn)，即點(diǎn)P用2s移動(dòng)了bcm，

點(diǎn)P繼續(xù)移動(dòng)3s，到達(dá)BC的中點(diǎn)，即點(diǎn)P用3s移動(dòng)了cm．

∴．            ②

由①②解得

∵點(diǎn)P移動(dòng)的速度與⊙O 移動(dòng)的速度相等，

∴⊙O 移動(dòng)的速度為（cm/s）．

∴這5s時(shí)間內(nèi)圓心O移動(dòng)的距離為5×4=20（cm）．

（3）存在這種情形．

解法一：設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的速度為v₁cm/s，⊙O移動(dòng)的速度為v₂cm/s，

由題意，得．

如圖，設(shè)直線OO₁與AB交于點(diǎn)E，與CD交于點(diǎn)F，⊙O₁與AD相切于點(diǎn)G．

若PD與⊙O₁相切，切點(diǎn)為H，則O₁G=O₁H．

易得△DO₁G≌△DO₁H，∴∠ADB=∠BDP．

∵BC∥AD，∴∠ADB=∠CBD．

∴∠BDP=∠CBD．∴BP=DP．

設(shè)BP=xcm，則DP=xcm，PC=（20-x）cm，

在Rt△PCD中，由勾股定理，可得，

即，解得．

∴此時(shí)點(diǎn)P移動(dòng)的距離為（cm）．

∵EF∥AD，∴△BEO₁∽△BAD．

∴，即．

∴EO₁=16cm．∴OO₁=14cm．

①當(dāng)⊙O首次到達(dá)⊙O₁的位置時(shí)，⊙O移動(dòng)的距離為14cm，

∴此時(shí)點(diǎn)P與⊙O移動(dòng)的速度比為．

∵，

∴此時(shí)PD與⊙O₁不可能相切．

②當(dāng)⊙O在返回途中到達(dá)⊙O₁的位置時(shí)，⊙O移動(dòng)的距離為2×(20-4)-14=18（cm），

∴此時(shí)點(diǎn)P與⊙O移動(dòng)的速度比為．

∴此時(shí)PD與⊙O₁恰好相切．

解法二：∵點(diǎn)P移動(dòng)的距離為cm（見解法一），

OO₁=14cm（見解法一），，

∴⊙O應(yīng)該移動(dòng)的距離為（cm）．

①當(dāng)⊙O首次到達(dá)⊙O₁的位置時(shí)，⊙O移動(dòng)的距離為14cm≠18 cm，

∴此時(shí)PD與⊙O₁不可能相切．

②當(dāng)⊙O在返回途中到達(dá)⊙O₁的位置時(shí)，⊙O移動(dòng)的距離為2×(20-4)-14=18（cm），

∴此時(shí)PD與⊙O₁恰好相切．

解法三：點(diǎn)P移動(dòng)的距離為cm，（見解法一）

OO₁=14cm，（見解法一）

由可設(shè)點(diǎn)P的移動(dòng)速度為5k cm/s，⊙O的移動(dòng)速度為4k cm/s，

∴點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為（s）．

①當(dāng)⊙O首次到達(dá)⊙O₁的位置時(shí)，⊙O移動(dòng)的時(shí)間為，

∴此時(shí)PD與⊙O₁不可能相切．

②當(dāng)⊙O在返回途中到達(dá)⊙O₁的位置時(shí)，⊙O移動(dòng)的時(shí)間為，

∴此時(shí)PD與⊙O₁恰好相切．