Question

小明在研究直角三角形的邊長時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面的式子：
①當(dāng)三邊長分別為3、4、5時(shí)，3²+4²=5²；②當(dāng)三邊長分別為6、8、10時(shí)，6²+8²=10²；③當(dāng)三邊長分別為5、12、13時(shí)，5²+12²=13²； …
（1）從中小明發(fā)現(xiàn)了一個(gè)規(guī)律：在直角△ABC中，若∠B=90°，則它的三邊長滿足________．
（2）已知長方形ABCD中AB=8，BC=5，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，△DEF的面積為16，求點(diǎn)D到直線EF的距離．

Answer 1

解：（1）根據(jù)①當(dāng)三邊長分別為3、4、5時(shí)，3²+4²=5²；
②當(dāng)三邊長分別為6、8、10時(shí)，6²+8²=10²；
③當(dāng)三邊長分別為5、12、13時(shí)，5²+12²=13²； …得到一個(gè)規(guī)律，直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方和，
則在直角△ABC中，若∠B=90°，則它的三邊長滿足：AB²+BC²=AC²；

（2）設(shè)BF=x，則CF=5-x，S_△DCF=DC•CF==20-4x，S_△BEF==2x，S_△DAE==10
而S_△DEF=16，且矩形ABCD的面積為5×8=40，
所以（20-4x）+2x+10+16=40，解得x=3，
則根據(jù)勾股定理得：EF==5，設(shè)D到直線EF的距離為d，
所以×5d=16，
解得d=．
故答案為：AB²+BC²=AC²．
分析：（1）根據(jù)題中已知式子，歸納總結(jié)出直角三角形三邊的平方關(guān)系為兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即可得出直角△ABC的三邊長滿足的關(guān)系式；
（2）要求D到直線EF的距離，即為三角形DEF的邊EF上的高，根據(jù)三角形EDF的面積為16，所以只需求出EF的長度，利用三角形的面積公式即可求出，由E為AB的中點(diǎn)，設(shè)BF為x，則CF=5-x，然后利用x，根據(jù)三角形的面積公式分別表示出△DCF，△AED，及三角形EFB的面積，根據(jù)三角形DEF的面積為16和矩形的面積為40，由矩形的面積等于圖中四個(gè)三角形的面積之和列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，然后利用勾股定理求出EF，利用三角形的面積公式即可求出D到直線EF的距離．
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用三角形的面積公式化簡求值，掌握矩形的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用，理解點(diǎn)到直線的距離的定義，是一道綜合題．