【題目】已知ABC是邊長為4的等邊三角形,邊AB在射線OM上,且OA6,點D是射線OM上的動點,當(dāng)點D不與點A重合時,將ACD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到BCE,連接DE

1)如圖1,求證:CDE是等邊三角形.

2)設(shè)ODt,

①當(dāng)6t10時,BDE的周長是否存在最小值?若存在,求出BDE周長的最小值;若不存在,請說明理由.

②求t為何值時,DEB是直角三角形(直接寫出結(jié)果即可).

【答案】(1)見解析;(2) ①見解析; t=2或14.

【解析】

1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCE=60°,DC=EC,即可得到結(jié)論;

2)①當(dāng)6t10時,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=AD,于是得到CDBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD,由垂線段最短得到當(dāng)CDAB時,△BDE的周長最小,于是得到結(jié)論;

②存在,當(dāng)點D與點B重合時,D,B,E不能構(gòu)成三角形;當(dāng)0≤t6時,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABE=60°,∠BDE60°,求得∠BED=90°,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DEB=60°,求得∠CEB=30°,求得OD=OA-DA=6-4=2=t;當(dāng)6t10時,此時不存在;當(dāng)t10時,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DBE=60°,求得∠BDE60°,于是得到t=14

1)∵將△ACD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE,

∴∠DCE60°,DCEC,

∴△CDE是等邊三角形;

2)①存在,當(dāng)6t10時,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,BEAD,

CDBEBE+DB+DEAB+DE4+DE,

由(1)知,△CDE是等邊三角形,

DECD

CDBECD+4,

由垂線段最短可知,當(dāng)CDAB時,△BDE的周長最小,

此時,CD2,

∴△BDE的最小周長=CD+42+4

②存在,∵當(dāng)點D與點B重合時,DB,E不能構(gòu)成三角形,

∴當(dāng)點D與點B重合時,不符合題意;

當(dāng)0≤t6時,由旋轉(zhuǎn)可知,∠ABE60°,∠BDE60°

∴∠BED90°,

由(1)可知,△CDE是等邊三角形,

∴∠DEB60°,

∴∠CEB30°

∵∠CEB=∠CDA,

∴∠CDA30°,

∵∠CAB60°

∴∠ACD=∠ADC30°,

DACA4,

ODOADA642,

t2;

當(dāng)6t10時,由∠DBE120°90°,

∴此時不存在;

當(dāng)t10時,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠DBE60°,

又由(1)知∠CDE60°

∴∠BDE=∠CDE+BDC60°+BDC,

而∠BDC,

∴∠BDE60°,

∴只能∠BDE90°,

從而∠BCD30°,

BDBC4,

OD14

t14,

綜上所述:當(dāng)t214時,以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形.

練習(xí)冊系列答案
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(3)將二次函數(shù)圖象向右平移個單位,再向上平移3個單位,平移后的二次函數(shù)圖象上存在一點M,其橫坐標(biāo)為3,在y軸上是否存在點F,使得∠MAF=45°?若存在,請求出點F坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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(1)求證:AC平分∠DAB

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于點A(1,4)、點B(-4,n).

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實例:三角形的面積S一定時,三角形底邊長y是高x的反比例函數(shù);

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