【題目】如圖,是等邊三角形,為上兩點(diǎn),且,延長至點(diǎn),使,連接.
(1)如圖1,當(dāng)兩點(diǎn)重合時,求證:;
(2)延長與交于點(diǎn).
①如圖2,求證:;
②如圖3,連接,若,則的面積為______________.
【答案】(1)見解析;(2)①見解析;②2.
【解析】
(1)當(dāng)D、E兩點(diǎn)重合時,則AD=CD,然后由等邊三角形的性質(zhì)可得∠CBD的度數(shù),根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可得∠F的度數(shù),于是可得∠CBD與∠F的關(guān)系,進(jìn)而可得結(jié)論;
(2)①過點(diǎn)E作EH∥BC交AB于點(diǎn)H,連接BE,如圖4,則易得△AHE是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知條件可得EH=CF,∠BHE=∠ECF=120°,BH=EC,于是可根據(jù)SAS證明△BHE≌△ECF,可得∠EBH=∠FEC,易證△BAE≌△BCD,可得∠ABE=∠CBD,從而有∠FEC=∠CBD,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠BGE=∠BCD,進(jìn)而可得結(jié)論;
②易得∠BEG=90°,于是可知△BEF是等腰直角三角形,由30°角的直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)易求得BE和BF的長,過點(diǎn)E作EM⊥BF于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CN⊥EF于點(diǎn)N,如圖5,則△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形,然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性質(zhì)可依次求出BM、MC、CF、FN、CN、GN的長,進(jìn)而可得△GCN也是等腰直角三角形,于是有∠BCG=90°,故所求的△BCG的面積=,而BC和CG可得,問題即得解決.
解:(1)∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,
當(dāng)D、E兩點(diǎn)重合時,則AD=CD,∴,
∵,∴∠F=∠CDF,
∵∠F+∠CDF=∠ACB=60°,∴∠F=30°,
∴∠CBD=∠F,∴;
(2)①∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=AC,
過點(diǎn)E作EH∥BC交AB于點(diǎn)H,連接BE,如圖4,則∠AHE=∠ABC=60°,∠AEH=∠ACB=60°,
∴△AHE是等邊三角形,∴AH=AE=HE,∴BH=EC,
∵,CD=CF,∴EH=CF,
又∵∠BHE=∠ECF=120°,∴△BHE≌△ECF(SAS),
∴∠EBH=∠FEC,EB=EF,
∵BA=BC,∠A=∠ACB=60°,AE=CD,
∴△BAE≌△BCD(SAS),∴∠ABE=∠CBD,∴∠FEC=∠CBD,
∵∠EDG=∠BDC,∴∠BGE=∠BCD=60°;
②∵∠BGE=60°,∠EBD=30°,∴∠BEG=90°,
∵EB=EF,∴∠F=∠EBF=45°,
∵∠EBG=30°,BG=4,∴EG=2,BE=2,
∴BF=,,
過點(diǎn)E作EM⊥BF于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CN⊥EF于點(diǎn)N,如圖5,則△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形,
∴,
∵∠ACB=60°,∴∠MEC=30°,∴,
∴,,
∴,
∴,
∴,∴∠GCF=90°=∠GCB,
∴,
∴△BCG的面積=.
故答案為:2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,,且, 滿足,直線經(jīng)過點(diǎn)和.
(1) 點(diǎn)的坐標(biāo)為( , ), 點(diǎn)的坐標(biāo)為( , );
(2)如圖1,已知直線經(jīng)過點(diǎn) 和軸上一點(diǎn), ,點(diǎn)在直線AB上且位于軸右側(cè)圖象上一點(diǎn),連接,且.
①求點(diǎn)坐標(biāo);
②將沿直線AM 平移得到,平移后的點(diǎn)與點(diǎn)重合,為 上的一動點(diǎn),當(dāng)的值最小時,請求出最小值及此時 N 點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖 2,將點(diǎn)向左平移 2 個單位到點(diǎn),直線經(jīng)過點(diǎn)和,點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn),直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn),動點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)沿著軸正方向運(yùn)動,連接,過點(diǎn)作直線的垂線交軸于點(diǎn),在直線上是否存在點(diǎn),使得是等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,、,且、滿足
(1)求、兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)過點(diǎn)的直線上有一點(diǎn),連接、, ,如圖2,當(dāng)點(diǎn)在第二象限時,交軸于點(diǎn),延長交軸于點(diǎn),設(shè)的長為,的長為,用含的式子表示;
(3)在(2)的條件下,如圖3,當(dāng)點(diǎn)在第一象限時,過點(diǎn)作交于點(diǎn),連接,若,,求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù).
()將化成的形式.
()與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是__________,與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是__________.
()在坐標(biāo)系中利用描點(diǎn)法畫出此拋物線.
()不等式的解集是__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“軍運(yùn)會”期間,某紀(jì)念品店老板用5000元購進(jìn)一批紀(jì)念品,由于深受顧客喜愛,很快售完,老板又用6000元購進(jìn)同樣數(shù)目的這種紀(jì)念品,但第二次每個進(jìn)價比第一次每個進(jìn)價多了2元.
(1)求該紀(jì)念品第一次每個進(jìn)價是多少元?
(2)老板以每個15元的價格銷售該紀(jì)念品,當(dāng)?shù)诙渭o(jì)念品售出時,出現(xiàn)了滯銷,于是決定降價促銷,若要使第二次的銷售利潤不低于900元,剩余的紀(jì)念品每個售價至少要多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①所示是一個長為,寬為的長方形,沿圖中虛線用剪刀均分成相等個小長方形.然后按圖②的方式拼成一個正方形.
(1)你認(rèn)為圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于 ;
(2)請用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中陰影部分的面積:
方法① ;
方法② ;
(3)觀察圖②,寫出,,這三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系: ;
(4)根據(jù)(3)題中的等量關(guān)系,解決如下問題:若,,求的值?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為了測量河對岸l1上兩棵古樹A、B之間的距離,某數(shù)學(xué)興趣小組在河這邊沿著與AB平行的直線l2上取C、D兩點(diǎn),測得∠ACB=15°,∠ACD=45°,若l1、l2之間的距離為50m,則A、B之間的距離為( 。
A. 50m B. 25m C. (50﹣)m D. (50﹣25)m
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=2,與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),其部分圖象如圖所示,下列結(jié)論:
①拋物線過原點(diǎn);②a﹣b+c<0;③當(dāng)x<1時,y隨x增大而增大;
④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,b);⑤若ax2+bx+c=b,則b2﹣4ac=0.
其中正確的是( 。
A. ①②③ B. ①④⑤ C. ①②④ D. ③④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩名隊員的10次射擊訓(xùn)練,成績分別被制成下列兩個統(tǒng)計圖.
并整理分析數(shù)據(jù)如下表:
平均成績/環(huán) | 中位數(shù)/環(huán) | 眾數(shù)/環(huán) | 方差 | |
甲 | 7 | 7 | 1.2 | |
乙 | 7 | 8 |
(1)求,,的值;
(2)分別運(yùn)用表中的四個統(tǒng)計量,簡要分析這兩名隊員的射擊訓(xùn)練成績.若選派其中一名參賽,你認(rèn)為應(yīng)選哪名隊員?
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