【題目】如圖,AB是⊙O的一條弦,點C是半徑OA的中點,過點C作OA的垂線交AB于點E,且與BE的垂直平分線交于點D,連接BD.
(1)求證:BD是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為2,CE=1,試求BD的長.
【答案】(1)見解析;(2)4
【解析】
(1)連接OB,由圓的半徑相等和已知條件證明∠OBD=90°,即可證明BD是⊙O的切線;
(2)根據(jù)三角函數(shù)的定義得到,求得∠A=30°,得到∠DEB=∠AEC=60°,推出△DEB是等邊三角形,得到BE=BD,設EF=BF=x,求得AB=2x+2,過O作OH⊥AB于H,解直角三角形即可得到結論.
(1)證明:連接OB,
∵OB=OA,DE=DB,
∴∠A=∠OBA,∠DEB=∠ABD,
又∵CD⊥OA,
∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°,
∴∠OBA+∠ABD=90°,
∴OB⊥BD,
∴BD是⊙O的切線;
(2)解:∵⊙O的半徑為,點C是半徑OA的中點,
∴,
∵CE=1,
∴,
∴∠A=30°,
∵∠ACE=90°,
∴∠DEB=∠AEC=60°,
∵DF垂直平分BE,
∴DE=DB,
∴△DEB是等邊三角形,
∴BE=BD,
設EF=BF=x,
∴AB=2x+2,
過O作OH⊥AB于H,
∴AH=BH=x+1,
∵,
∴,
∴AB=6,
∴BD=BE=AB﹣AE=4.
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【題目】黃山景區(qū)銷售一種旅游紀念品,已知每件進價為元,當銷售單價定為元時,每天可以銷售件.市場調(diào)查反映:銷售單價每提高元,日銷量將會減少件.物價部門規(guī)定:銷售單價不低于元,但不能超過元,設該紀念品的銷售單價為(元),日銷量為(件).
(1)直接寫出與的函數(shù)關系式.
(2)求日銷售利潤(元)與銷售單價(元)的函數(shù)關系式.并求當為何值時,日銷售利潤最大,最大利潤是多少?
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【題目】如圖,數(shù)學興趣小組的小穎想測量教學樓前的一棵樹的樹高,下午課外活動時她測得一根長為1m的竹竿的影長是0.8m,但當她馬上測量樹高時,發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教學樓的墻壁上(如圖),他先測得留在墻壁上的影高為1.2m,又測得地面的影長為2.6m,請你幫她算一下,樹高是( 。
A.4.25mB.4.45mC.4.60mD.4.75m
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【題目】有一塊矩形木板,木工采用如圖的方式,在木板上截出兩個面積分別為18dm2和32dm2的正方形木板.
(1)求剩余木料的面積.
(2)如果木工想從剩余的木料中截出長為1.5dm,寬為ldm的長方形木條,最多能截出 塊這樣的木條.
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【題目】在平面直角坐標系中,拋物線y=x2﹣4x+n(x>0)的圖象記為G1,將G1繞坐標原點旋轉(zhuǎn)180°得到圖象G2,圖象G1和G2合起來記為圖象G.
(1)若點P(﹣1,2)在圖象G上,求n的值.
(2)當n=﹣1時.
①若Q(t,1)在圖象G上,求t的值.
②當k≤x≤3(k<3)時,圖象G對應函數(shù)的最大值為5,最小值為﹣5,直接寫出k的取值范圍.
(3)當以A(﹣3,3)、B(﹣3,﹣1)、C(2,﹣1)、D(2,3)為頂點的矩形ABCD的邊與圖象G有且只有三個公共點時,直接寫出n的取值范圍.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A的坐標為(0,7),點B的坐標為(0,3),點C的坐標為(3,0).
(1)在圖中作出△ABC的外接圓(利用格圖確定圓心);
(2)圓心坐標為 ;外接圓半徑r為 ;
(2)若在x軸的正半軸上有一點D,且∠ADB=∠ACB,則點D的坐標為 .
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2﹣2x(a≠0)與x軸交于點A,B(點A在點B的左側(cè)).
(1)當a=﹣1時,求A,B兩點的坐標;
(2)過點P(3,0)作垂直于x軸的直線l,交拋物線于點C.
①當a=2時,求PB+PC的值;
②若點B在直線l左側(cè),且PB+PC≥14,結合函數(shù)的圖象,直接寫出a的取值范圍.
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【題目】已知:t1,t2是方程t2+2t﹣24=0的兩個實數(shù)根,且t1<t2,拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(t1,0),B(0,t2).
(1)求這個拋物線的解析式;
(2)設點P(x,y)是拋物線上一動點,且位于第三象限,四邊形OPAQ是以OA為對角線的平行四邊形,求平行四邊形OPAQ的面積S與x之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,當平行四邊形OPAQ的面積為24時,是否存在這樣的點P,使OPAQ為正方形?若存在,求出P點坐標;若不存在,說明理由.
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