Question

【題目】如圖，已知直線分別交軸、軸于點(diǎn)、，拋物線過(guò)，兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．

（1）若拋物線的解析式為，設(shè)其頂點(diǎn)為，其對(duì)稱軸交于點(diǎn)．

①求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；

②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使的值最大，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；

③是否存在點(diǎn)，使四邊形為菱形？并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1時(shí)，是否存在這樣的拋物線，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①，②，③不存在，理由見(jiàn)解析；（2）存在，或．

【解析】

(1)①函數(shù)的對(duì)稱軸為: ，故點(diǎn)，即可求解；

②設(shè)拋物與x軸左側(cè)的交點(diǎn)為R(-1，0)，則點(diǎn)A與R關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，連接RB并延長(zhǎng)交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q為所求，即可求解

③四邊形MNPD為菱形，首先PD＝MN，即，解得：或（舍去），故點(diǎn)，而，即可求解；

(2)分∠DBP為直角、∠BDP為直角兩種情況，分別求解即可.

解：（1）①函數(shù)的對(duì)稱軸為：，故點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)；

②設(shè)拋物線與軸左側(cè)的交點(diǎn)為，則點(diǎn)與關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

連接并延長(zhǎng)交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，則點(diǎn)為所求，

將、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：并解得：

直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)；

③不存在，理由：

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，

，

四邊形為菱形，首先，

即，解得：或（舍去），

故點(diǎn)，而，

故不存在點(diǎn)，使四邊形為菱形；

（2）當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1時(shí)，則其坐標(biāo)為：，此時(shí)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為：、

，

①當(dāng)為直角時(shí)，以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，

則，，則，

，，

則，故點(diǎn)；

②當(dāng)為直角時(shí)，以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，

則軸，則點(diǎn)、關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，故點(diǎn)，

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或，

將點(diǎn)、、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式：并解得：

或．