Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x²+（2k﹣1）x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點(diǎn)．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）在這條拋物線的對(duì)稱軸右邊的圖象上有一點(diǎn)B，使△AOB的面積等于6，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)B，在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠POB=90°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△POB的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由

Answer 1

(1)y=x²﹣3x；（2）（4，4）；（3）存在，點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（2，﹣2），△POB的面積是8.

解析試題分析：（1）將原點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出k的值，從而求得拋物線的解析式.
（2）根據(jù)（1）得出的拋物線的解析式可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，也就求出了OA的長，根據(jù)△OAB的面積可求出B點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，然后將符合題意的B點(diǎn)縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)B點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸的右邊來判斷得出的B點(diǎn)是否符合要求即可.
（3）根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)可求出直線OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，代入二次函數(shù)解析式可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．求△POB的面積時(shí)，求出OB，OP的長度即可求出△BOP的面積.
試題解析：
（1）∵函數(shù)的圖象與x軸相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1.
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=x²﹣3x.
（2）如圖，過點(diǎn)B做BD⊥x軸于點(diǎn)D，

令x²﹣3x=0，解得：x=0或3.∴AO=3.
∵△AOB的面積等于6，∴AO•BD=6.∴BD=4.
∵點(diǎn)B在函數(shù)y=x²﹣3x的圖象上，
∴4=x²﹣3x，解得：x=4或x=﹣1（舍去）.
又∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，
∴x軸下方不存在B點(diǎn).
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，4）.
（3）存在.
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，4），∴∠BOD=45°，.
若∠POB=90°，則∠POD=45°.
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²﹣3x）.
∴.
若，解得x="4" 或x=0（舍去）.此時(shí)不存在點(diǎn)P（與點(diǎn)B重合）.
若，解得x="2" 或x=0（舍去）.
當(dāng)x=2時(shí)，x²﹣3x=﹣2.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣2）.
∴.
∵∠POB=90°，∴△POB的面積為： PO•BO=××=8.
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.