Question

如圖，拋物線y=-2x²+x+1交y軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)B．P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，作直線PC⊥PO，交過點(diǎn)B垂直于x軸的直線于點(diǎn)C．過P點(diǎn)作直線MN平行于x軸，交y軸于點(diǎn)M，交過點(diǎn)B垂直于x軸的直線于點(diǎn)N．
（1）求線段AB長(zhǎng)；
（2）證明：OP=PC；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，設(shè)AP長(zhǎng)為m，△OBC的面積為S，請(qǐng)求出S與m間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（4）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之在直線x=1上移動(dòng)，△PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不可能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式，易求得A、B的坐標(biāo)，利用勾股定理即可求得AB的長(zhǎng)．
（2）首先根據(jù)A、B的坐標(biāo)，求出直線AB的解析式，設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，利用直線AB的解析式，即可表示出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此可得到MP、OM、PN的長(zhǎng)，從而證得OM=PN，而∠OPC=90°，則∠OPM、∠PCN同為∠CPN的余角，再加上一組直角，即可由AAS判定△OPM≌△PCN，由此得證．
（3）由（2）的全等三角形知PM=CN，由此可求得BC的表達(dá)式，OB的長(zhǎng)易求得，根據(jù)三角形的面積公式即可得到S、m的函數(shù)關(guān)系式．（需注意的是，自變量的取值范圍會(huì)影響到PM的表達(dá)式，因此要分類討論）
（4）此題應(yīng)分三種情況討論：
①P為等腰三角形的頂角頂點(diǎn)，由于∠PBN=45°，若PC=PB，那么CP⊥PB，顯然不符合題意；
②C為等腰三角形的頂角頂點(diǎn)，此時(shí)PC=BC，由于△OAB是等腰直角三角形，因此P、A重合時(shí)，△PCB也是等腰直角三角形，故A點(diǎn)符合點(diǎn)P的要求；
③B為等腰三角形的頂角頂點(diǎn)，此時(shí)PB=BC；當(dāng)C點(diǎn)在第一象限時(shí)，顯然不存在這樣的P點(diǎn)，故此時(shí)C點(diǎn)必在第四象限，首先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出AP、PB、BC的長(zhǎng)，根據(jù)所得等量關(guān)系，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）拋物線y=-2x²+x+1中，令x=0，得y=1，令y=0，得x=-

1

2

，x=1；
故A（0，1），B（1，0）；
∴AB=

2

．（2分）

（2）∵A（0，1），B（1，0），
∴直線AB：y=-x+1；
設(shè)P（a，-a+1），則有：
PM=a，OM=1-a，PN=MN-PM=1-a，
故OM=PN；
∵∠OPC=90°，則∠OPM+∠CPN=∠CPN+∠PCN=90°，
∴∠OPM=∠PCN；
又∵∠OMP=∠CPN=90°，OM=PN，
∴△OPM≌△PCN，
∴OP=CP．（5分）

（3）易知OA=OB=1，則∠OBA=∠OAB=45°；
若AP=m，則PM=AM=CN=

2

2

m，OM=BN=1-

2

2

m，
①當(dāng)0＜m＜

2

2

時(shí)，BC=BN-NC=1-

2 m

2

-

2 m

2

=1-

2

m，
故S=

1- 2 m

2

；（7分）
②當(dāng)

2

2

＜m＜

2

時(shí)，BC=CN-BN=

2 m

2

-（1-

2 m

2

）=

2

m-1，
故S=-

1- 2 m

2

．（9分）

（4）假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn)；
①△PCB以P為頂角頂點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)C位于第一象限；
由于∠PBN=45°，若PC=PB，則∠CPB=90°，顯然不合題意；
②△PCB以C為頂角頂點(diǎn)；
由于△OAB是等腰直角三角形，當(dāng)P、A重合時(shí)，△PCB也是等腰直角三角形，
故A點(diǎn)符合P點(diǎn)的要求，即P（0，1）；
③△PBC以B為頂角頂點(diǎn)；
當(dāng)C點(diǎn)在第一象限時(shí)，PB＞BC，若PB=BC，則C點(diǎn)必在第四象限；
設(shè)P（a，1-a），則AP=

2

a，PB=

2

（1-a），BC=CN-BN=a-（1-a）=2a-1；
若PB=BC，則2a-1=

2

-

2

a，
解得a=

2

2

，
故P（

2

2

，1-

2

2

）；
綜上所述，存在符合條件的P點(diǎn)，且坐標(biāo)為P（0，1）或（

2

2

，1-

2

2

）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、全等三角形的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的構(gòu)成條件等知識(shí)．（4）題中，由于等腰三角形的腰和底不確定，一定要分類討論，以免漏解．