Question

【題目】如圖，長(zhǎng)方形OABC的頂點(diǎn)A、C、O都在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，4），E為BC邊上一點(diǎn)，CE=6．

（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)和△ABE的周長(zhǎng)；

（2）若P是OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)沿射線OA運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0）．

①當(dāng)t為何值時(shí)，△PAE的面積等于△PCE的面積的一半；

②當(dāng)t為何值時(shí)，△PAE為直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）12；(2)①6或12秒；②6或秒.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)長(zhǎng)方形OABC中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，4），求得CB=9，CO=4=AB，即可得出CE=6，再根據(jù)勾股定理求得AE的長(zhǎng)，即可得到△ABE的周長(zhǎng)；

（2）①分兩種情況討論：P在OA之間時(shí)，P在OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別根據(jù)△PAE的面積等于△PCE的面積的一半，列出關(guān)于t的方程，求得t的值即可；

②分三種情況討論：當(dāng)∠PEA=90°時(shí)，當(dāng)∠PAE=90°時(shí)，∠EPA=90°時(shí)，分別求得t的值并判斷是否符合題意即可．

試題解析：（1）如圖，∵長(zhǎng)方形OABC中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，4），

∴CB=9，CO=4=AB，

又∵CE=6，

∴E（6，4），BE=3，

∵∠B=90°，

∴Rt△ABE中，AE==5，

∴△ABE的周長(zhǎng)：3+4+5=12；

（2）①∵OP=1×t=t，

∴AP=9﹣t，

∵△PAE的面積等于△PCE的面積的一半，

∴當(dāng)P在OA之間時(shí)，

∵×AP×AB=×CE×CO×，

∴（9﹣t）×4=6×4×，

解得t=6；

當(dāng)P在OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵×AP×AB=×CE×CO×，

∴（t﹣9）×4=6×4×，

解得t=12，

綜上所述，當(dāng)t為6或12秒時(shí)，△PAE的面積等于△PCE的面積的一半；

②如圖，當(dāng)∠PEA=90°時(shí)，△PAE為直角三角形，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于F，則

CF=OP=t，EF=6﹣t，BF=6﹣t+3=9﹣t=AP，

由勾股定理可得，，

即，

∴，

解得t=；

當(dāng)∠EPA=90°時(shí)，△PAE為直角三角形，EP⊥OA，

此時(shí)，PE=OC=4，

∴Rt△APE中，AP==3，

∴OP=9﹣3=6，

∴t=6；

∵EA與AP不垂直，

∴∠PAE不可能為直角；

綜上所述，當(dāng)t為6或秒時(shí)，△PAE為直角三角形．