已知一元二次方程x2+ax+a-2=0.
(1)求證:不論a為何實(shí)數(shù),此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)設(shè)a<0,當(dāng)二次函數(shù)y=x2+ax+a-2的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為時(shí),求出此二次函數(shù)的解析式;
(3)在(2)的條件下,若此二次函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),在函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使得△PAB的面積為?若存在求出P點(diǎn)坐標(biāo),若不存在請說明理由.
【答案】分析:(1)由△=a2-4(a-2)=a2-4a+8=(a-2)2+4>0,即可判定不論a為何實(shí)數(shù),此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)首先設(shè)x1、x2是y=x2+ax+a-2=0的兩個(gè)根,則x1+x2=-a,x1•x2=a-2,由兩交點(diǎn)的距離是,可得:(x1-x22=13,即可得(x1+x22-4x1•x2=13,繼而求得a的值;
(3)首先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由AB=,△PAB的面積為,即可求得y的值,繼而求得P點(diǎn)坐標(biāo).
解答:(1)證明:∵△=a2-4(a-2)=a2-4a+8=(a-2)2+4>0,
∴不論a為何實(shí)數(shù),此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)解:設(shè)x1、x2是y=x2+ax+a-2=0的兩個(gè)根,則x1+x2=-a,x1•x2=a-2,
∵兩交點(diǎn)的距離是
∴|x1-x2|==
即:(x1-x22=13,
變形為:(x1+x22-4x1•x2=13,
∴(-a)2-4(a-2)=13,
整理得:(a-5)(a+1)=0,
解方程得:a=5或-1,
又∵a<0,
∴a=-1,
∴此二次函數(shù)的解析式為y=x2-x-3.

(3)解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),
∵函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離等于,
∴AB=,
∴S△PAB=AB•|y|=,
=
即:|y|=3,
解得:y=±3,
當(dāng)y=3時(shí),x2-x-3=3,即(x-3)(x+2)=0,
解此方程得:x=-2或3,
當(dāng)y=-3時(shí),x2-x-3=-3,即x(x-1)=0,
解此方程得:x=0或1,
綜上所述,所以存在這樣的P點(diǎn),P點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,3)或(3,3)或(0,-3)或(1,-3).
點(diǎn)評:此題屬于二次函數(shù)的綜合題,考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式以及點(diǎn)與二次函數(shù)的關(guān)系.此題難度較大,注意掌握方程思想的應(yīng)用.
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