【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,直徑AF平分∠BAC,交BC于點D.
(1)如圖1,求證:AB=AC;
(2)如圖2,延長BA到點E,連接ED、EC,ED交AC于點G,且ED=EC,求證:∠EGC=∠ECA+2∠ACB;
(3)如圖3,在(2)的條件下,當BC是⊙O的直徑時,取DC的中點M,連接AM并延長交圓于點N,且EG=5,連接CN并求CN的長.
【答案】
(1)證明:如圖1,連接BF、CF,
∵AF是⊙O的直徑,
∴∠ABF=∠ACF=90°,
∵AF平分∠BAC,
∴∠BAF=∠CAF,
∴∠AFB=∠AFC,
∴ ,
∴AB=AC
(2)證明:如圖2,∵ED=EC,
∴∠EDC=∠ECD,
∵∠EGC=∠ACB+∠EDC,
∴∠EGC=∠ACB+∠ECD=∠ACB+∠ACB+∠ECA=∠ECA+2∠ACB
(3)證明:如圖3,連接EM,交AC于H,連接OH,
∵ED=EC,M是DC的中點,
∴EM⊥DC,
∴∠BME=90°,
∵BC為⊙O 的直徑,
∴∠BAC=90°,
∵AB=AC,
∴∠B=45°,
∴△BME是等腰直角三角形,
∴∠BEM=45°,
∴△EAH是等腰直角三角形,
∴AE=AH,
∵AB=AC,OB=OC,
∴AO⊥BC,AO=OB=OC= BC,
∵∠AOC=∠HMC=90°,
∴MH∥AO,
∵M是OC的中點,
∴H是AC的中點,
∴AH=CH=OH,OH⊥AC,
∴AE=OH,
∵∠EAH=∠AHO=90°,
∴AE∥OH,
∴四邊形AOHE是平行四邊形,
∴AG=GH,EG=OG=5,
設AG=x,則GH=x,OH=2x,
在Rt△OGH中,52=x2+(2x)2,
x= ,
∴AG=GH= ,OH=HC=2 ,AC=4 ,
∴AO= = =2 ,
∴OC=2 ,
∴MC= OC= ,
在Rt△AOM中,AM= = =5 ,
∵∠N=∠B=45°,
∴∠N=∠ACB=45°,
∵∠NAC=∠MAC,
∴△AMC∽△ACN,
∴ ,
∴ ,
∴CN=4.
【解析】(1)連接BF、CF,根據(jù)角平分線和直徑所對的圓周角是直角得:∠AFB=∠AFC,則所對的弧相等,弦相等;(2)根據(jù)等腰三角形的性質:等邊對等角得:∠EDC=∠ECD,再由外角定理得:∠EGC=∠ACB+∠EDC,等量代換可得結論;(3)作輔助線,構建高線和中位線,①證明四邊形AOHE是平行四邊形,得AG=GH,EG=OG=5,②設AG=x,則GH=x,OH=2x,分別計算AG,OH,AC,AO,AM的長;③證明△AMC∽△ACN,列比例式可求得CN的長.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明在一次數(shù)學興趣小組活動中,對一個數(shù)學問題作如下探究:
問題情境:如圖1,四邊形ABCD中,AD∥BC,點E為DC邊的中點,連接AE并延長交BC的延長線于點F,求證:S四邊形ABCD=S△ABF . (S表示面積)
問題遷移:如圖2:在已知銳角∠AOB內(nèi)有一個定點P.過點P任意作一條直線MN,分別交射線OA、OB于點M、N.小明將直線MN繞著點P旋轉的過程中發(fā)現(xiàn),△MON的面積存在最小值,請問當直線MN在什么位置時,△MON的面積最小,并說明理由.
實際應用:如圖3,若在道路OA、OB之間有一村莊Q發(fā)生疫情,防疫部門計劃以公路OA、OB和經(jīng)過防疫站P的一條直線MN為隔離線,建立一個面積最小的三角形隔離區(qū)△MON.若測得∠AOB=66°,∠POB=30°,OP=4km,試求△MON的面積.(結果精確到0.1km2)(參考數(shù)據(jù):sin66°≈0.91,tan66°≈2.25, ≈1.73)
拓展延伸:如圖4,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,點A、B、C、P的坐標分別為(6,0)(6,3)( , )、(4、2),過點p的直線l與四邊形OABC一組對邊相交,將四邊形OABC分成兩個四邊形,求其中以點O為頂點的四邊形面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標系xOy中,O為坐標原點,二次函數(shù)y=x2+bx的圖象經(jīng)過點A(﹣1,4),交x軸于點B(a,0).
(1)求a與b的值;
(2)如圖1,點M為拋物線上的一個動點,且在直線AB下方,試求出△ABM面積的最大值及此時點M的坐標;
(3)在(2)的條件下,點C為AB的中點,點P是線段AM上的動點,如圖2所示,問AP為何值時,將△BPC沿邊PC翻折后得到△EPC,使△EPC與△APC重疊部分的面積是△ABP的面積的 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為迎接2017年中考,某中學對全校九年級學生進行了一次數(shù)學期末模擬考試,并隨機抽取了部分學生的測試成績作為樣本進行分析,繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)統(tǒng)計圖中提供的信息解答下列問題:
(1)在這次調查中,樣本中表示成績類別為“中”的人數(shù);
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)若該中學九年級共有800人參加了這次數(shù)學考試,估計該校九年級共有多少名學生的數(shù)學成績可以達到優(yōu)秀?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,且B(1,0),C(0,3),將△BOC繞點O按逆時針方向旋轉90°,C點恰好與A重合.
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)若點P為線段AB上的任一動點,過點P作PE∥AC,交BC于點E,連結CP,求△PCE面積S的最大值;
(3)設拋物線的頂點為M,Q為它的圖象上的任一動點,若△OMQ為以OM為底的等腰三角形,求Q點的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系內(nèi),已知直線y=x+4與x軸、y軸分別相交于點A和點C,拋物線y=x2+kx+k﹣1圖象過點A和點C,拋物線與x軸的另一交點是B,
(1)求出此拋物線的解析式、對稱軸以及B點坐標;
(2)若在y軸負半軸上存在點D,能使得以A、C、D為頂點的三角形與△ABC相似,請求出點D的坐標.
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