【題目】(2016湖南省邵陽市第26題)已知拋物線y=ax2﹣4a(a>0)與x軸相交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),點P是拋物線上一點,且PB=AB,∠PBA=120°,如圖所示.
(1)求拋物線的解析式.
(2)設(shè)點M(m,n)為拋物線上的一個動點,且在曲線PA上移動.
①當點M在曲線PB之間(含端點)移動時,是否存在點M使△APM的面積為?若存在,求點M的坐標;若不存在,請說明理由.
②當點M在曲線BA之間(含端點)移動時,求|m|+|n|的最大值及取得最大值時點M的坐標.
【答案】(1)、y=x2﹣;(2)、①、(3,);②、(,﹣)或(﹣,﹣)時,|m|+|n|的最大值為.
【解析】
試題分析:(1)、先求出A、B兩點坐標,然后過點P作PC⊥x軸于點C,根據(jù)∠PBA=120°,PB=AB,分別求出BC和PC的長度即可得出點P的坐標,最后將點P的坐標代入二次函數(shù)解析式即;(2)、①過點M作ME⊥x軸于點E,交AP于點D,分別用含m的式子表示點D、M的坐標,然后代入△APM的面積公式DMAC,根據(jù)題意列出方程求出m的值;②根據(jù)題意可知:n<0,然后對m的值進行分類討論,當﹣2≤m≤0時,|m|=﹣m;當0<m≤2時,|m|=m,列出函數(shù)關(guān)系式即可求得|m|+|n|的最大值.
試題解析:(1)、如圖1,令y=0代入y=ax2﹣4a, ∴0=ax2﹣4a, ∵a>0, ∴x2﹣4=0,
∴x=±2, ∴A(﹣2,0),B(2,0), ∴AB=4, 過點P作PC⊥x軸于點C, ∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°,
∵PB=AB=4, ∴cos∠PBC=, ∴BC=2, 由勾股定理可求得:PC=2, ∵OC=OC+BC=4,
∴P(4,2), 把P(4,2)代入y=ax2﹣4a, ∴2=16a﹣4a, ∴a=,
∴拋物線解析式為;y=x2﹣;
(2)∵點M在拋物線上, ∴n=m2﹣, ∴M的坐標為(m, m2﹣),
①當點M在曲線PB之間(含端點)移動時, ∴2≤m≤4,
如圖2,過點M作ME⊥x軸于點E,交AP于點D, 設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b,
把A(﹣2,0)與P(4,2)代入y=kx+b,得:, 解得
∴直線AP的解析式為:y=x+, 令x=m代入y=x+, ∴y=m+,
∴D的坐標為(m, m+), ∴DM=(m+)﹣(m2﹣)=﹣m2+m+,
∴S△APM=DMAE+DMCE=DM(AE+CE)=DMAC=﹣m2+m+4
當S△APM=時,∴=﹣m2+m+4, ∴解得m=3或m=﹣1, ∵2≤m≤4,
∴m=3, 此時,M的坐標為(3,);
②當點M在曲線BA之間(含端點)移動時, ∴﹣2≤m≤2,n<0,
當﹣2≤m≤0時, ∴|m|+|n|=﹣m﹣n=﹣m2﹣m+=﹣(m+)2+,
當m=﹣時, ∴|m|+|n|可取得最大值,最大值為,
此時,M的坐標為(﹣,﹣), 當0<m≤2時,
∴|m|+|n|=m﹣n=﹣m2+m+=﹣(m﹣)2+,
當m=時, ∴|m|+|n|可取得最大值,最大值為, 此時,M的坐標為(,﹣),
綜上所述,當點M在曲線BA之間(含端點)移動時,M的坐標為(,﹣)或(﹣,﹣)時,|m|+|n|的最大值為.
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【題目】如圖6,已知A、E、F、C四點共線,BF=DE,AB=CD.
(1)請你添加一個條件(不再添加其它線段,不再標注或使用其他字母),使△DEC ≌△BFA,并給出證明.你添加的條件是:_______________;
(2)在(1)的基礎(chǔ)上,求證:DE∥BF。
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【題目】我省某市五月份第二周連續(xù)七天的空氣質(zhì)量指數(shù)分別為:111、96、47、68、70、77、105,則這七天空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)是( 。
A.71.8
B.77
C.82
D.95.7
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【題目】(2016重慶市第26題)如圖1,二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象交于A,B兩點,點A的坐標為(0,1),點B在第一象限內(nèi),點C是二次函數(shù)圖象的頂點,點M是一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與x軸的交點,過點B作x軸的垂線,垂足為N,且S△AMO:S四邊形AONB=1:48.
(1)求直線AB和直線BC的解析式;
(2)點P是線段AB上一點,點D是線段BC上一點,PD//x軸,射線PD與拋物線交于點G,過點P作PE⊥x軸于點E,PF⊥BC于點F,當PF與PE的乘積最大時,在線段AB上找一點H(不與點A,點B重合),使GH+BH的值最小,求點H的坐標和GH+BH的最小值;
(3)如圖2,直線AB上有一點K(3,4),將二次函數(shù)沿直線BC平移,平移的距離是t(t≥0),平移后拋物線使點A,點C的對應點分別為點A’,點C’;當△A’C’K是直角三角形時,求t的值。
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【題目】某市元宵節(jié)燈展參觀人數(shù)約為470000,將這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為( 。
A. 4.7×106 B. 4.7×105 C. 0.47×106 D. 47×104
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【題目】如圖,點B和點C分別為∠MAN兩邊上的點,AB=AC.
(1)按下列語句畫出圖形:(要求不寫作法,保留作圖痕跡)
① AD⊥BC,垂足為D;
② ∠BCN的平分線CE與AD的延長線交于點E;
③ 連結(jié)BE.
(2)在完成(1)后不添加線段和字母的情況下,請你寫出除△ABD≌△ACD外的兩對全等三角形: ≌ , ≌ ;并選擇其中的一對全等三角形予以證明.
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【題目】使用計算器計算各式:6×7= ,66×67= ,666×667= ,6 666×6 667= .
(1)根據(jù)以上結(jié)果,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
(2)依照你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,不用計算器,你能直接寫出666 666×666 667的結(jié)果嗎?請你試一試.
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