Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，b）、點(diǎn)B（a，0）、點(diǎn)D（d，0）且a、b、c滿(mǎn)足．DE⊥x軸且∠BED=∠ABD，BE交y軸于點(diǎn)C，AE交x軸于點(diǎn)F．

（1）求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；

（2）求點(diǎn)C、E、F的坐標(biāo)；

（3）如圖，過(guò)P（0，-1）作x軸的平行線(xiàn)，在該平行線(xiàn)上有一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在P的右側(cè)）使∠QEM=45°，QE交x軸于N，ME交y軸正半軸于M，求的值．

Answer 1

【答案】(1)A(0,3) B(-1,0) D(2,0)；(2) E(2,1) F(3,0)；(3)

【解析】

（1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a、b、d的值，可求得A、B、D的坐標(biāo)；

（2）由條件可證明△ABO≌△BED，可求得DE和BD的長(zhǎng)，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，再求得直線(xiàn)AE與BE的解析式，可求得C、F點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）過(guò)E作EG⊥OA于點(diǎn)G，EH⊥PQ于點(diǎn)Q，可證明四邊形GEHP為正方形，在GA上截GI=QH，可證明△IGE≌△QHE，可證得∠IEM=∠MEQ=45°，可證明△EIM≌△EQM，可得到IM=MQ，再結(jié)合條件可求得PH=AI=PQ，可求得答案．

解：（1）∵，

∴

∴，

∴A（0，3），B（-1，0），D（2，0）；

（2）∵A（0，3），B（-1，0），D（2，0），

∴OB=1，OD=2，OA=3，

∴AO=BD，

在△ABO和△BED中，

，

∴△ABO≌△BED（AAS），

∴DE=BO=1，

∴E（2，1），

設(shè)直線(xiàn)AE解析式為：y=kx+b，直線(xiàn)BE解析式為：y=mx+n，如圖1，

把點(diǎn)A、E代入y=kx+b，把點(diǎn)B、E代入y=mx+n，得

，，

解得：，，

∴直線(xiàn)AE解析式為：，

直線(xiàn)BE解析式為：，

∴直線(xiàn)，令，解得：，

∴點(diǎn)F為：，

∴直線(xiàn)，令，解得：，

∴點(diǎn)C為：；

（3）過(guò)E作EG⊥OA，EH⊥PQ，垂足分別為G、H，在GA上截取GI=QH，如圖2，

∵E（2，1），P（-1，0），

∴GE=GP=GE=PH=2，

∴四邊形GEHP為正方形，

∴∠IGE=∠EHQ=90°，

在Rt△IGE和Rt△QHE中

，

∴△IGE≌△QHE（SAS），

∴IE=EQ，∠1=∠2，

∵∠QEM=45°，

∴∠2+∠3=45°，

∴∠1+∠3=45°，

∴∠IEM=∠QEM，

在△EIM和△EQM中，

，

∴△EIM=EQM（SAS），

∴IM=MQ，

∴AM-MQ=AM-IM=AI，

由（2）可知OA=OF=3，∠AOF=90°，

∴∠A=∠AEG=45°，

∴PH=GE=GA=IG+AI，

∴AI=GA-IG=PH-QH=PQ，