【題目】我們知道,三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心,已知點(diǎn)I為ABC的內(nèi)心.

(1)如圖1,連接AI并延長交BC于點(diǎn)D,若AB=AC=3,BC=2,求ID的長;

(2)如圖2,過點(diǎn)I作直線交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N.

若MNAI,求證:MI2=BMCN;

如圖3,AI交BC于點(diǎn)D,若BAC=60°,AI=4,求的值.

【答案】(1);(2)見解析;(3)

【解析】

(1)如圖1中,作IEABE.設(shè)ID=x.由BEI≌△BDI,可得ID=IE=x,BD=BE=1,AE=2,在RtAEI中,根據(jù)AE2+EI2=AI2,可得解方程即可;
(2)如圖2中,連接BI、CI.首先證明AMI≌△ANI(ASA),再證明BMI∽△INC,可得,推出NI2=BMCN,由此即可解決問題;
(3)過點(diǎn)NNGADMA的延長線于G.由∠ANG=AGN=30°,推出AN=AG,AING,推出,可得即可推出

(1)如圖1中,作IEABE.設(shè)ID=x.

AB=AC=3,AI平分∠BAC,

ADBC,BD=CD=1,

RtABD中,

∵∠EBI=DBI,BEI=BDI=90°,BI=BI,

∴△BEI≌△BDI,

ID=IE=x,BD=BE=1,AE=2,

RtAEI中,∵AE2+EI2=AI2,

(2)如圖2中,連接BI、CI.

I是內(nèi)心,

∴∠MAI=NAI,

AIMN,

∴∠AIM=AIN=90°,

AI=AI,

∴△AMI≌△ANI(ASA),

∴∠AMN=ANM,

∴∠BMI=CNI,

設(shè)∠BAI=CAI=α,ACI=BCI=β,

∴∠NIC=90°﹣α﹣β,

∵∠ABC=180°﹣2α﹣2β,

∴∠MBI=90°﹣α﹣β,

∴∠MBI=NIC,

∴△BMI∽△INC,

NI2=BMCN,

NI=MI,

MI2=BMCN.

(3)過點(diǎn)NNGADMA的延長線于G.

∴∠ANG=AGN=30°,

AN=AG,

AING,

練習(xí)冊系列答案
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