【題目】
如圖,以為直徑的⊙O交△CFB的邊于點A, 平分∠ABC交AC于點M,AD⊥BC于點D,AD交BM于點N,ME⊥BC于點E,AB2=AF·AC。
(1)證明:△ABM≌△EBM;
(2)證明:FB是⊙O的切線;
(3)若cos∠ABD=,AD=12.求四邊形AMEN的面積S。
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)四邊形AMEN的面積S為45.
【解析】(1)證明:∵BC是⊙O的直徑,∴∠BAC=90°.
又∵EM⊥BC,BM平分∠ABC,∴AM=ME,∠AMN=∠EMN.
又∵MN=MN,∴△ANM≌△ENM.
(2)證明:∵AB2=AFAC,∴.
又∵∠BAC=∠FAB=90°,∴△ABF∽△ACB,∴∠ABF=∠C.
又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90°,∴FB是⊙O的切線.
(3)解:由(1)得AN=EN,AM=EM,∠AMN=∠EMN,又∵AN∥ME,∴∠ANM=∠EMN,∴∠AMN=∠ANM,∴AN=AM,∴AM=ME=EN=AN,∴四邊形AMEN是菱形.
∵cos∠ABD=,∠ADB=90°,∴.
設(shè)BD=3x,則AB=5x,由勾股定理AD==4x;
∵AD=12,∴x=3,∴BD=9,AB=15.
∵MB平分∠AME,∴BE=AB=15,∴DE=BE﹣BD=6.
∵ND∥ME,∴∠BND=∠BME.
又∵∠NBD=∠MBE,∴△BND∽△BME,∴.
設(shè)ME=x,則ND=12﹣x,,解得x=,∴S=MEDE=×6=45.
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【題目】某校組織學(xué)生和教師為邊遠(yuǎn)山區(qū)學(xué)校捐贈圖書,原計劃共捐贈5000冊,實際捐贈時學(xué)生比原計劃多贈了15%,教師比原計劃多贈了20%,實際共捐贈5825冊,則原計劃學(xué)生捐贈圖書_____冊.
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【題目】某種品牌運動服經(jīng)過兩次降價,每件零售價由560元降為315元,已知兩次降價的百分率相同,求每次降價的百分率.設(shè)每次降價的百分率為x,下面所列的方程中正確的是( )
A.560(1+x)2=315
B.560(1﹣x)2=315
C.560(1﹣2x)2=315
D.560(1﹣x2)=315
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【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,點A,B,C的坐標(biāo)分別是(0,a),(b,0),(a,﹣b)且a2+b2+4a﹣4b=﹣8,連接BC交y軸于點M,N為AC中點,連接NO并延長至D,使OD=ON,連接BD.
(1)求a,b的值;
(2)求∠DBC;
(3)如圖2,Q為ON,BC的交點,連接AQ,AB,過點O作OP⊥OQ,交AB于P,過點O作OH⊥AB于H,交BQ于E,請?zhí)骄烤段EH,PH與OH之間有何數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論.
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【題目】小明用a小時清點完一批圖書的一半,小強加入清點另一半圖書的工作,兩人合作小時清點完另一半圖書.設(shè)小強單獨清點完這批圖書需要x小時.
(1)若a=3,求小強單獨清點完這批圖書需要的時間.
(2)請用含a的代數(shù)式表示x,并說明a滿足什么條件時x的值符合實際意義.
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【題目】若一組數(shù)據(jù)2,3,4,5,x的方差與另一組數(shù)據(jù)5,6,7,8,9的方差相等,則x= _______________.
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