【題目】閱讀下面材料,完成(1)~(3)題.

數(shù)學(xué)課上,老師出示了這樣一道題:

如圖1,△ABC中,ACBCa,∠ACB90°,點(diǎn)DAB上,且ADkAB(其中0k),直線(xiàn)CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與直線(xiàn)CB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后相交于點(diǎn)E,探究線(xiàn)段DC、DE的數(shù)量關(guān)系,并證明.

同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考后,交流了自己的想法:

小明:“通過(guò)觀察和度量,發(fā)現(xiàn)DCDE相等”;

小偉:“通過(guò)構(gòu)造全等三角形,經(jīng)過(guò)進(jìn)一步推理,可以得到DCDE相等”

小強(qiáng):“通過(guò)進(jìn)一步的推理計(jì)算,可以得到BEBC的數(shù)量關(guān)系”

老師:“保留原題條件,連接CEAB于點(diǎn)O.如果給出BODO的數(shù)量關(guān)系,那么可以求出COEO的值”

1)在圖1中將圖補(bǔ)充完整,并證明DCDE;

2)直接寫(xiě)出線(xiàn)段BEBC的數(shù)量關(guān)系   (用含k的代數(shù)式表示);

3)在圖2中將圖補(bǔ)充完整,若BODO,求COEO的值(用含a的代數(shù)式表示).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)BE=(12kBC;(3

【解析】

1)作DMBCM,DNBEN,則∠DMC=DNE=90°,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ABC=45°AB=BC=a,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CDE=CBE=90°,則∠DBE=45°,∠MDN=90°,∠CDM=EDN,∠ABC=ABE,由角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出DM=DN,由ASA證得CDM≌△EDNASA),即可得出結(jié)論;
2)由(1)得CDM≌△EDN,則CM=EN,易證四邊形BMDN是矩形,BDM是等腰直角三角形,證明四邊形BMDN是正方形,得出BM=BN,推出BC+BE=BM+CM+BM-CM=2BM=BD,BD=AB-AD=1-kAB=1-kBC,則BC+BE=BD=21-kBC,即可得出結(jié)果;
3)由∠CDE+CBE=90°+90°=180°,得出B、C、D、E四點(diǎn)共圓,得出COEO=DOBO,即可得出結(jié)果.

解:(1)將圖補(bǔ)充完整,如圖1所示:

DMBCMDNBEN,

則∠DMC=∠DNE90°

ACBCa,∠ACB90°,

∴∠ABC45°,ABBC,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:∠CDE=∠CBE90°

∴∠DBE90°45°45°,∠MDN90°

∴∠CDM=∠EDN,∠ABC=∠ABE,

DMBCMDNBEN,

DMDN

CDMEDN中,,

∴△CDM≌△EDNASA),

DCDE;

2BE=(12kBC,理由如下:

由(1)得:CDM≌△EDN,

CMEN

∵∠CBE90°,DMBC,DNBE

∴四邊形BMDN是矩形,

∵∠ABC45°,

∴△BDM是等腰直角三角形,

DMBM,BMBD,

∴四邊形BMDN是正方形,

BMBN

BCBM+CM,

BC+BEBM+CM+BMCM2BMBD,

ADkAB,

BDABAD=(1kAB=(1kBC,

BC+BEBD21kBC

整理得:BE=(12kBC;

故答案為:BE=(12kBC

3)將圖補(bǔ)充完整,如圖2所示:

∵∠CDE+CBE90°+90°180°,

B、CD、E四點(diǎn)共圓,

COEODOBO,

BODO,

COEODOBODO2×BD2×2×[1ka]2

練習(xí)冊(cè)系列答案
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如:解方程.

解:原方程可變形,得

.

,

直接開(kāi)平方并整理,得,.

我們稱(chēng)曉東這種解法為“平均數(shù)法”.

(1)下面是曉東用“平均數(shù)法”解方程時(shí)寫(xiě)的解題過(guò)程.

.

,

.

直接開(kāi)平方并整理,得,.

上述過(guò)程中的“□”,“○”,“☆”,“¤”表示的數(shù)分別為_(kāi)_______,________,________,________.

(2)請(qǐng)用“平均數(shù)法”解方程:.

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2)當(dāng)時(shí),拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為,且。

①若點(diǎn)軸的距離為2時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);

②設(shè)拋物線(xiàn)在點(diǎn)與點(diǎn)之間部分(含點(diǎn)和點(diǎn))最高點(diǎn)與最低點(diǎn)縱坐標(biāo)之差為,求之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量的取值范圍;

3)若點(diǎn),連結(jié),當(dāng)拋物線(xiàn)與線(xiàn)段只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),直接寫(xiě)出的取值范圍。

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