Question

【題目】若四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，則這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的“巧分線”，這個(gè)四邊形叫“巧妙四邊形”，若一個(gè)四邊形有兩條巧分線，則稱為“絕妙四邊形．

（1）下列四邊形一定是巧妙四邊形的是　 ．（填序號(hào)）

①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形．

（初步應(yīng)用）

（2）如圖，在絕妙四邊形ABCD中，AC＝AD，且AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度數(shù)．

（深入研究）

（3）在巧妙四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四邊形ABCD的巧分線，請(qǐng)直接寫出∠BCD的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）③④；（2）∠BCD＝140°；（3）∠BCD的度數(shù)是45°或135°或90°．

【解析】

（1）根據(jù)題意，“巧妙四邊形”需是鄰邊相等是四邊形，由平行四邊形，矩形，菱形，正方形的性質(zhì)可求解；

（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，即可求∠BCD的度數(shù)；

（3）分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和“絕妙四邊形的定義可求解．

（1）∵菱形的四條邊相等，

∴連接對(duì)角線能得到兩個(gè)等腰三角形，

∴菱形是巧妙四邊形；

正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四邊形；

故答案是：③④；

【初步應(yīng)用】

（2）∵AC垂直平分BD，

∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，

∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，

∵∠BAD＝80°，

∴∠BAC＝∠DAC＝40，

∵AC＝AD，

∴∠ACD＝70°＝∠BCA，

∴∠BCD＝140°，

【深入研究】

（3）∵AC是四邊形ABCD的巧分線，

∴△ACD和△ABC是等腰三角形，

①當(dāng)AC＝BC時(shí)，如圖，過(guò)C作CH⊥AB于H，過(guò)C作CG⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于G，

∵∠HAD＝∠AHC＝∠G＝90°

∴四邊形AHCG是矩形，

AH＝CG＝AB＝CD

∴∠CDG＝30°，

∴∠ADC＝150°

∴∠DAC＝∠DCA＝15°

∵∠DAB＝90°，

∴∠CAB＝∠B＝75°，且∠ACB＝30°

∴∠BCD＝30°+15°＝45°；

②當(dāng)AC＝AB時(shí)，如圖

∵AC＝AB＝AD＝CD

∴△ACD是等邊三角形，

∠CAD＝∠ACD＝60°

∴∠BAD＝90°，

∴∠BAC＝30°，

∵AB＝AC

∴∠ACB＝75°，

∴∠BCD＝75°+60°＝135°；

③當(dāng)AB＝BC時(shí)，如圖

∵AB＝AD＝CD＝BC

∴四邊形ABCD是菱形，且∠BAD＝90°，

∴四邊形ABCD是正方形

∴∠BCD＝90°

綜上所述：∠BCD的度數(shù)是45°或135°或90°．