Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與y軸交于點C，與x軸相交于A，B兩點，點A的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，-4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點Q是線段OB上的動點，過點Q作QE∥BC，交AC于點E，連接CQ，設(shè)OQ=m，當△CQE的面積最大時，求m的值，并寫出點Q的坐標；
（3）若平行于x軸的動直線，與該拋物線交于點P，與直線BC交于點F，D的坐標為（-2，0），則是否存在這樣的直線l，使OD=DF？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可得出答案；
（2）首先求出△AEQ∽△ACB進而得出EG=，再利用S_△CQE=S_△ACQ-S_△AEQ得出關(guān)于m的二次函數(shù)關(guān)系進而得出答案；
（3）得出F（-2，-2）進而代入y=x²+x-4求出P點坐標即可．
解答：解：（1）把x=2，y=0；x=0，y=-4代入y=x²+bx+c，
得
解得
故所求拋物線的解析式為y=x²+x-4．           

（2）如圖1，作EG⊥AQ于點G，由（1）可知，點B的坐標為（-4，0）．
∴CO=4，AB=6，AQ=m+2．
∵QE∥BC，
∴△AEQ∽△ACB．
∴，即．
∴EG=．
∴S_△CQE=S_△ACQ-S_△AEQ==，
=．
當m=1時，當△CQE的面積最大．
此時，點Q的坐標為（-1，0）．                  

（3）若存在，如圖2，
∵點B的坐標為（-4，0），D的坐標為（-2，0），DO=DF，
∴DB=DF．∴∠ABC=∠BFD．
∵OC=OB，∠ABC=∠BCO=45°．
∴∠ABC=∠BFD=45°．
∴FD⊥AB．
則F（-2，-2）．
∴x²+x-4=-2．
解得x₁=-1-，x₂=-1+．
所以點P的坐標為（-1-，-2）或（-1+，-2）．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出△AEQ∽△ACB是解題關(guān)鍵．