【題目】如圖,△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合.將△DEF繞點E旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,線段DE與線段AB相交于點P,線段EF與射線CA相交于點Q.
(1)如圖①,當點Q在線段AC上,且AP=AQ時,求證:△BPE≌△CQE;
(2)如圖②,當點Q在線段CA的延長線上時,求證:△BPE∽△CEQ;并求當BP=a,CQ= 時,P、Q兩點間的距離 (用含a的代數(shù)式表示).
【答案】
(1)證明:∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=45°,AB=AC,
∵AP=AQ,
∴BP=CQ,
∵E是BC的中點,
∴BE=CE,
在△BPE和△CQE中,
∵ ,
∴△BPE≌△CQE(SAS)
(2)解:連接PQ,
∵△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=∠DEF=45°,
∵∠BEQ=∠EQC+∠C,
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°,
∴∠BEP=∠EQC,
∴△BPE∽△CEQ,
∴ ,
∵BP=a,CQ= a,BE=CE,
∴ ,
∴BE=CE= a,
∴BC=3 a,
∴AB=AC=BCsin45°=3a,
∴AQ=CQ﹣AC= a,PA=AB﹣BP=2a,
在Rt△APQ中,PQ= = a.
【解析】(1)由△ABC是等腰直角三角形,易得∠B=∠C=45°,AB=AC,又由AP=AQ,E是BC的中點,利用SAS,可證得:△BPE≌△CQE;(2)由△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形,易得∠B=∠C=∠DEF=45°,然后利用三角形的外角的性質(zhì),即可得∠BEP=∠EQC,則可證得:△BPE∽△CEQ;根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可求得BE的長,即可得BC的長,繼而求得AQ與AP的長,利用勾股定理即可求得P、Q兩點間的距離.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰直角三角形的相關(guān)知識,掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°,以及對相似三角形的判定與性質(zhì)的理解,了解相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
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【題目】花粉的質(zhì)量很小,一粒某種植物花粉的質(zhì)量約為0.000037毫克,已知1克=1000毫克,那么0.000000037毫克可用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.3.7×10﹣5克B.3.7×10﹣6克C.37×10﹣7克D.3.7×10﹣8克
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【題目】如圖,P是等腰直角△ABC外一點,把BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到BP′,已知∠AP′B=135°,P′A:P′C=1:3,則P′A:PB=( )
A.1:
B.1:2
C. :2
D.1:
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【題目】嘉淇同學(xué)要證明命題“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”是正確的,她先用尺規(guī)作出了如圖1的四邊形ABCD,并寫出了如下不完整的已知和求證.
已知:如圖1,在四邊形ABCD中,BC=AD,AB=
求證:四邊形ABCD是 四邊形.
(1)在方框中填空,以補全已知和求證;
(2)按嘉淇同學(xué)的思路寫出證明過程;
(3)用文字敘述所證命題的逆命題.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,E、F分別是邊AD、CD上的點,DE=CF,AF與BE相交于O,DG⊥AF,垂足為G.
(1)求證:AF⊥BE;
(2)試探究線段AO、BO、GO的長度之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)若GO:CF=4:5,試確定E點的位置.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線AB與x軸、y軸分別交于點A,B,與反比例函數(shù) (k為常數(shù),且k>0)在第一象限的圖象交于點E,F(xiàn).過點E作EM⊥y軸于M,過點F作FN⊥x軸于N,直線EM與FN交于點C.若 (m為大于l的常數(shù)).記△CEF的面積為S1 , △OEF的面積為S2 , 則 = . (用含m的代數(shù)式表示)
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【題目】某班45名學(xué)生的成績被分為5組,第1~4組的頻數(shù)分別為12,11,9,4,則第5組的頻率是( )
A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD為平行四邊形,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F.
(1)求證:BE=DF;
(2)若 M、N分別為邊AD、BC上的點,且DM=BN,試判斷四邊形MENF的形狀(不必說明理由).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了直觀地表示我國體育健兒在最近八屆夏季奧運會上獲得獎牌總數(shù)的變化趨勢,最適合使用的統(tǒng)計圖是( 。
A.扇形圖B.折線圖C.條形圖D.直方圖
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