Question

如圖1，把兩個全等的三角板ABC、EFG疊放在一起，使三角板EFG的直角邊FG經(jīng)過三角板ABC的直角頂點C，垂直AB于G，其中∠B=∠F=30°，斜邊AB和EF均為4．現(xiàn)將三角板EFG由圖1所示的位置繞G點沿逆時針方向旋轉α（0＜α＜90°），如圖2，EG交AC于點K，GF交BC于點H．在旋轉過程中，請你解決以下問題：

（1）GH∶GK的值是否變化？證明你的結論；

（2）連結HK，求證：KH∥EF；

（3）設AK＝x，請問是否存在x，使△CKH的面積最大，若存在，求x的值，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）解：GH∶GK的值不變，GH∶GK＝．                    

證明如下：∵CG⊥AB，∴∠AGC=∠BGC=90°．

∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠A=∠GCH=60°．

∵∠AGB=∠BGC=90°，

∴∠AGK=∠CGH．

∴△AGK∽△CGH．∴．                             

∵在Rt△ACG中，tan∠A＝，

∴GH∶GK＝．                                             

 

（2）證明：由（1）得，在Rt△KHG中，tan∠GKH＝，∴∠GKH＝60°．

∵在△EFG中，∠E=∠EGF－∠F=90°－30°＝60°，

∴∠GKH＝∠E．

∴KH∥EF．                                                       

（3）解：存在x=1，使△CKH的面積最大．理由如下：                 

由（1）得△AGK∽△CGH，∴，∴．

在Rt△EFG中，∠EGF =90°，∠F=30°，∴AC＝EF=2，

∴CK=AC－AK=2－x．                                             

∴．

∴當x=1時，△CKH的最大面積為．