Question

（2013•太原二模）如圖，在?ABCD中，AB=6，BC=10，對角線AC⊥AB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AD上的點(diǎn)，且BE=DF．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）填空：
①當(dāng)BE的長度為

5

時(shí)，四邊形AECF是菱形；
②當(dāng)BE的長度為

3.6

時(shí)，四邊形AECF是矩形．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，AD=BC，再證明AF=EC，可證明四邊形AECF是平行四邊形；
（2）①根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AE=

1

2

CB=5，然后再根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
②當(dāng)AE⊥BC時(shí)，四邊形AECF是矩形，根據(jù)勾股定理分別計(jì)算出AC長，再計(jì)算出AE長，然后再利用勾股定理計(jì)算出BE長即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）解：①當(dāng)EB=5時(shí)，四邊形AECF是菱形；
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∵CB=10，EB=5，
∴E為BC中點(diǎn)，
∴AE=

1

2

CB=5，
∴AE=EC，
又∵四邊形AECF是平行四邊形，
∴四邊形AECF是菱形；
故答案為：5．

②當(dāng)BE=3.6時(shí)，四邊形AECF是矩形，
當(dāng)AE⊥BC時(shí)，四邊形AECF是矩形，
∵AB=6，BC=10，
∴AC=8，
∴

1

2

×AB×AC=

1

2

×CB×AE，
AE=

24

5

，
EB=

AB2-AE2

=3.6，
故答案為：3.6．

點(diǎn)評：此題主要考查了平行四邊形、菱形、矩形的判定，關(guān)鍵是掌握各種特殊四邊形的判定方法．