【題目】已知拋物線y=x2+bx+cb、c是常數(shù))與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),其中有一點(diǎn)的坐標(biāo)為A1,0),點(diǎn)Pm,t)(m≠0)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

1)設(shè)y′=m+t,寫(xiě)出y′關(guān)于m的函數(shù)解析式,并求出該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸(用含c的代數(shù)式表示);

2)在(1)的條件下,當(dāng)m≤3時(shí),與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)y′的最小值為﹣,求拋物線y=x2+bx+c的解析式;

3)在(2)的條件下,P點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P′,且P′落在第一象限內(nèi),當(dāng)P′A2取得最小值時(shí),求mt的值.

【答案】(1)y′=m2cm+c m=c(2)y=x2+2x33t=m=

【解析】【試題分析】(1)根據(jù)點(diǎn)P(m,t)(m≠0)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)得:

t=m2+bm+c,y′=m+t=m+m2+bm+c=m2+(b+1)m+c,

A(1,0)代入y=x2+bx+c,得1+b+c=0,b+1=﹣c,

y′=m2﹣cm+c.根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸表達(dá)式為:該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為m=c;

(2)由(1)知,y′=m2﹣cm+c,對(duì)稱軸為m=c;

當(dāng)c≤3時(shí),即:c≤6,此時(shí),m=c時(shí),拋物線y′=m2﹣cm+c取最小值,

即: c2﹣c×c+c=﹣,

解得:c=﹣3c=7(舍去),

當(dāng)c=﹣3時(shí),b=﹣c﹣1=2.

y=x2+2x﹣3;

(3)當(dāng)y=x2+2x﹣3時(shí),

P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P',有P'(﹣m,﹣t).

P'(﹣m,﹣t)在第一象限,

﹣m>0,﹣t>0.即m<0,t<0.

由拋物線y=x2+2x﹣3的頂點(diǎn)為(﹣1,﹣4)

﹣4≤t<0.

A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

利用兩點(diǎn)間的距離公式得:P'A2=(﹣m﹣1)2+t2=(m+1)2+t2,

t=m2+2m﹣3=(m+1)2﹣4,

變形:(m+1)2=t+4,

P'A2=t2+t+4=(t+2+

∴當(dāng)t=﹣時(shí),P'A2取得最小值.

t=﹣代入t=m2+2m﹣3,得﹣=m2+2m﹣3

解得m=m=(舍)

故:當(dāng)t=﹣時(shí),m=.

【試題解析】

1t=m2+bm+c

y′=m+t=m+m2+bm+c=m2+b+1m+c,

A10)代入y=x2+bx+c,得1+b+c=0,b+1=﹣c

y′=m2﹣cm+c

∴該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為m=c;

2)由(1)知,y′=m2﹣cm+c,對(duì)稱軸為m=c;

當(dāng)c3時(shí),即:c6,此時(shí),m=3時(shí),拋物線y′=m2﹣cm+c取最小值,

∵點(diǎn)Pm,t),

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是3,

即:點(diǎn)P是定點(diǎn),不是動(dòng)點(diǎn),不符合題意,

當(dāng)c≤3時(shí),即:c≤6,此時(shí),m=c時(shí),拋物線y′=m2﹣cm+c取最小值,

即: c2﹣c×c+c=﹣,

c=﹣3c=7(舍去),

當(dāng)c=﹣3時(shí),b=﹣c﹣1=2

y=x2+2x﹣3;

3)當(dāng)y=x2+2x﹣3時(shí),

P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P',有P'﹣m,﹣t).

P'﹣m﹣t)在第一象限,

﹣m0,﹣t0.即m0,t0

由拋物線y=x2+2x﹣3的頂點(diǎn)為(﹣1﹣4

﹣4≤t0

A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

P'A2=﹣m﹣12+t2=m+12+t2

t=m2+2m﹣3=m+12﹣4,

m+12=t+4

P'A2=t2+t+4=t+2+

∴當(dāng)t=﹣時(shí),P'A2取得最小值.

t=﹣代入t=m2+2m﹣3,得﹣=m2+2m﹣3

解得m=m=(舍)

∴當(dāng)t=﹣時(shí),m=

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1)若,,用直尺、量角器畫(huà)出射線EB’EA’;

2)若,,求的度數(shù);

3)若,,用含的代數(shù)式表示的度數(shù).

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