平面上任意五個點都落在格點上,試證明至少有二個點連線的中點也在格點上.
【答案】
分析:首先根據(jù)中點坐標(biāo)公式知,坐標(biāo)平面兩點(x
1,y
1)、(x
2,y
2)的中點坐標(biāo)是(
,
),再證明x
1與x
2,y
1與y
2的奇偶性相同,根據(jù)坐標(biāo)的奇偶性構(gòu)造四個“抽屜”進行證明.
解答:證明:由中點坐標(biāo)公式知,坐標(biāo)平面兩點(x
1,y
1)、(x
2,y
2)的中點坐標(biāo)是(
,
).
欲使
和
都是整數(shù),必須而且只須x
1與x
2,y
1與y
2的奇偶性相同.
平面上格點的坐標(biāo)是以下四種情況:(奇數(shù),奇數(shù)),(奇數(shù),偶數(shù)),(偶數(shù),偶數(shù)),
(偶數(shù),奇數(shù))由于五個點都落在格點上,肯定有二個格點的坐標(biāo)情況相同,
根據(jù)整數(shù)的奇偶性質(zhì),則他們連線的中點坐標(biāo)也一定是以上四種情況之一.
故至少有二個點的中點的連線也在格點上.
點評:此題主要考查了抽屜原理的知識點,解答本題的關(guān)鍵是對坐標(biāo)平面上的任意格點按照橫縱兩個坐標(biāo)的奇偶性考慮構(gòu)造四個“抽屜”,充分利用好抽屜原理的知識點,本題難度較大.