Question

【題目】如圖，已知F是以AC為直徑的半圓O上任意一點，過AC上任意一點H作AC的垂線分別交CF,AF的延長線于點E，B，點D是線段BE的中點.

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若BF=AF，求證AF2=EF·CF.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）證明見解析.

【解析】分析：（1）連接OF，根據(jù)圓周角定理得出∠AFC=90°，然后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得DF=DE=BE，根據(jù)等邊對等角得出∠1=∠2，∠3=∠C，進而求得OF⊥DF，即可證得DF是 O的切線．（2）由∠C=∠BEF，∠EFB=∠AFC，可推出△EFB∽△AFC，進而推出，即可求解.

本題解析：1)證明：如圖1，連接OF，

∵AC是直徑∴∠AFC=90°∴∠BFE=90°，

∵D是BE的中點∴DF=DE=BE，∴∠1=∠2，

∵OF=OC，∴∠3=∠C，∴∠1+∠3=∠2+∠C=∠4+∠C，

∵BH⊥AC，∴在Rt△ECH中,∠4+∠C=90°，

∴∠1+∠3=90°，∴∠DFO=90°，∴OF⊥DF，

∴DF是O的切線。

（2）∵∠C=∠BEF，∠EFB=∠AFC, ∴△EFB∽△AFC，∴，即AF·BF= EF·CF,又BF=AF，∴AF2=EF·CF.