Question

如圖，矩形中，厘米，厘米（）．動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，分別沿，運(yùn)動(dòng)，速度是厘米／秒．過(guò)作直線垂直于，分別交，于．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
（1）若厘米，秒，則______厘米；
（2）若厘米，求時(shí)間，使，并求出它們的相似比；
（3）若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某時(shí)刻使梯形與梯形的面積相等，求的取值范圍；
（4）是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某時(shí)刻使梯形，梯形，梯形的面積都相等？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1），
（2），使，相似比為
（3），
，即，

當(dāng)梯形與梯形的面積相等，即
化簡(jiǎn)得，
，，則，
（4）時(shí)，梯形與梯形的面積相等
梯形的面積與梯形的面積相等即可，則
，把代入，解之得，所以．
所以，存在，當(dāng)時(shí)梯形與梯形的面積、梯形的面積相等．

（1）容易知道△ANB∽△APM，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例就可以求出PM；
（2）若PNB∽△PAD，這樣就可以求出t，也可以求出相似比；
（3）首先利用△AMP∽△ABN把QM，PM用t表示，然后就可以用t表示梯形PMBN與梯形PQDA的面積，根據(jù)已知可以得到關(guān)于t的方程，最后就可以根據(jù)t與a的關(guān)系式就可以討論t的取值范圍了；
（4）根據(jù)（3）已經(jīng)得到t的取值范圍，再根據(jù)梯形PQCN的面積與梯形PMBN的面積相等得到關(guān)于t的方程，求出t，再求出a，這樣就可以判斷a的值是否存在