Question

【題目】如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為每秒5個(gè)單位長度，點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，以、為鄰邊作.設(shè)與重疊部分的面積為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

（1）用含的代數(shù)式表示的長為________；

（2）是否存在某一時(shí)刻，使四邊形為矩形，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）時(shí)，求與的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）與之間的函數(shù)關(guān)系式為．

【解析】

（1）根據(jù)三角函數(shù)即可計(jì)算出PN的長度；

（2）當(dāng)口POMN為矩形時(shí)，由PN⊥AB可得PQ//AB，再根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，最后計(jì)算即可；

（3）分在三角形內(nèi)部時(shí)和有部分在外邊時(shí)，分別由三角函數(shù)可計(jì)算各圖形中的高，最后運(yùn)用三角形的面積公式解答即可．

解：（1）∵在Rt△ABC中，C=90°，AC=20，BC=15.

∴AB=

∴sin∠CAB=

由題可知AP=5t.

則PN=AP·sin∠CAB=5t×=3t.

故答案為：；

（2）當(dāng)為矩形時(shí)，，

∵，

∴，

∴，

由題意可知，，

∴，

解得；，

即當(dāng)為矩形時(shí).

（3）

①如圖所示.在三角形內(nèi)部時(shí).延長交于點(diǎn)，

由（1）題可知：，，

，，.

∴，

，

，

∵在三角形內(nèi)部時(shí).有，

∴，

∴.

∴.

∴當(dāng)時(shí)，與重疊部分圖形為，與之間的函數(shù)關(guān)系

式為.

②如圖所示.當(dāng)時(shí)，與重疊部分圖形為梯形，

即：，

解得：，

與重疊部分圖形為梯形的面積

當(dāng)，.

綜上，