Question

【題目】如圖，反比例函數(shù) (，)的圖象與直線相交于點C，過直線上點A(1，3)作AB⊥x軸于點B，交反比例函數(shù)圖象于點D，且AB=3BD．

（1）求k的值；

（2）求點C的坐標(biāo)；

（3）在y軸上確定一點M，使點M到C、D兩點距離之和d=MC+MD最小，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）（， ）；（3） M（0，2﹣2）．

【解析】（1）根據(jù)A坐標(biāo)，以及AB=3BD求出D坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值；

（2）直線y=3x與反比例解析式聯(lián)立方程組即可求出點C坐標(biāo)；

（3）作C關(guān)于y軸的對稱點C′，連接C′D交y軸于P，則P點即為所求，利用待定系數(shù)法求出直線C′D的解析式，進(jìn)而可得出M點坐標(biāo)．

解：A（1，3），

∴AB=3，OB=1，

∵AB=3BD，

∴BD=1，

∴D（1，1）

將D坐標(biāo)代入反比例解析式得：k=1；

（2）由（1）知，k=1，

∴反比例函數(shù)的解析式為；y=，解：，

解得：或，

∵x＞0，

∴C（，）；

（3）如圖，作C關(guān)于y軸的對稱點C′，連接C′D交y軸于M，則d=MC+MD最小，

∴C′（﹣，），

設(shè)直線C′D的解析式為：y=kx+b，

∴，∴，

∴y=（﹣3+2）x+2﹣2，

當(dāng)x=0時，y=2﹣2， ∴M（0，2﹣2）．

“點睛”此題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，以及直線與反比例的交點求法，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．