Question

【題目】已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)為A．

（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OA、OP．

①當(dāng)OA⊥OP時(shí)，求OP的長(zhǎng)；

②過(guò)點(diǎn)P作OP的垂線交對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線于點(diǎn)B，聯(lián)結(jié)OB，當(dāng)∠OAP=∠OBP時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸列方程求出，即可得到拋物線解析式，再根據(jù)解析式寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為E．①求出，然后根據(jù)銳角的正切值相等列出等式，再求解得到，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可；②過(guò)點(diǎn)B作AP的垂線，垂足為F，根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后表示出，在和中，利用相等的銳角的正切值相等列式求出再求出然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求解得到的值，從而得解．

試題解析：（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線，．

頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1）；

設(shè)對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為E．①如圖，在直角三角形AOE和直角三角形POE中，

;

②如圖，過(guò)點(diǎn)B作AP的垂線，垂足為F，設(shè)點(diǎn)，

在和中，

整理得：解得（舍）．