【題目】如圖,正方形ABCD中,E為AB邊上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE,與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.連接EF,與CD邊交于點(diǎn)G,與對(duì)角線BD交于點(diǎn)H.
(1)若BF=BD=,求BE的長(zhǎng);
(2)若∠ADE=2∠BFE,求證:FH=HE+HD.
【答案】(1)BE=2-;(2)證明見解析.
【解析】分析:(1)由四邊形ABCD正方形,BF=BD=,由勾股定理即可求得BC的長(zhǎng),又由DF⊥DE,易證得△ADE≌△CDF,即可求得BE的長(zhǎng);
(2)首先在FE上截取一段FI,使得FI=EH,由△ADE≌△CDF,易證得△DEH≌△DFI,即可得DH=DI,又由∠ADE=2∠BFE,易證得△DHI為等邊三角形,即可得DH=HI,繼而可得FH=HE+HD.
詳解:(1)解:∵四邊形ABCD正方形,∴∠BCD=90°,BC=CD,∴Rt△BCD中,BC2+CD2=BD2,即BC2=()2﹣(BC)2,∴BC=AB=1.∵DF⊥DE,∴∠ADE+∠EDC=90°=∠EDC+∠CDF,∴∠ADE=∠CDF.在△ADE和△CDF中,∵,∴△ADE≌△CDF(ASA),∴AE=CF=BF﹣BC=﹣1,∴BE=AB﹣AE=1﹣(﹣1)=2﹣;
(2)證明:在FE上截取一段FI,使得FI=EH.∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF,∴△DEF為等腰直角三角形,∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC.∵∠DHE=∠BHF,∴∠EDH=∠BFH(三角形的內(nèi)角和定理).在△DEH和△DFI中,∵,∴△DEH≌△DFI(SAS),∴DH=DI.又∵∠HDE=∠BFE,∠ADE=2∠BFE,∴∠HDE=∠BFE=∠ADE.∵∠HDE+∠ADE=45°,∴∠HDE=15°,∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°,即△DHI為等邊三角形,∴DH=HI,∴FH=FI+HI=HE+HD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,E是對(duì)角線BD上一點(diǎn),且滿足BE=BC.連接CE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F,連接AE,過(guò)B點(diǎn)作BG⊥AE于點(diǎn)G,延長(zhǎng)BG交AD于點(diǎn)H.在下列結(jié)論中:
①AH=DF;②∠AEF=45°;③S四邊形EFHG=S△DEF+S△AGH;④△AEF≌△CDE
其中正確的結(jié)論有______ (填正確的序號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,圖中的小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形,△ABC與△A′B′C′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形,它們的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上.
(1)畫出位似中心點(diǎn)O;
(2)直接寫出△ABC與△A′B′C′的位似比;
(3)以位似中心O為坐標(biāo)原點(diǎn),以格線所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系,畫出△A′B′C′關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱的△A″B″C″,并直接寫出△A″B″C″各頂點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,DE垂直平分斜邊AC,交AB于D,E是垂足,連接CD.若BD=1,求AC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=a(x+2)2+3(a<0)的圖象如圖所示,則以下結(jié)論:①當(dāng)x>﹣2時(shí),y隨x的增大而增大;②不論a為任何負(fù)數(shù),該二次函數(shù)的最大值總是3;③當(dāng)a=﹣1時(shí),拋物線必過(guò)原點(diǎn);④該拋物線和x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn).其中正確結(jié)論是( )
A.①②
B.②③
C.②④
D.①④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某數(shù)學(xué)小組的10位同學(xué)站成一列做報(bào)數(shù)游戲,規(guī)則是:從前面第一位同學(xué)開始,每位同學(xué)依次報(bào)自己順序的倒數(shù)的2倍加1,第1位同學(xué)報(bào) ,第2位同學(xué)報(bào) ,第3位同學(xué)報(bào) ,…這樣得到10個(gè)數(shù)的積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD沿著直線BD折疊,使點(diǎn)C落在C′處,BC′交AD于點(diǎn)E,AD=8,AB=6,求AE的長(zhǎng)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC中,BC=AC=5,AB=8,CD為AB邊上的高,如圖1,A在原點(diǎn)處,點(diǎn)B在y軸正半軸上,點(diǎn)C在第一象限,若A從原點(diǎn)出發(fā),沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)B隨之沿y軸下滑,并帶動(dòng)△ABC在平面上滑動(dòng).如圖2,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間表為t秒,當(dāng)B到達(dá)原點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng).
(1)當(dāng)t=0時(shí),求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)當(dāng)t=4時(shí),求OD的長(zhǎng)及∠BAO的大小;
(3)求從t=0到t=4這一時(shí)段點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng);
(4)當(dāng)以點(diǎn)C為圓心,CA為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時(shí),求t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某大眾汽車經(jīng)銷商在銷售某款汽車時(shí),以高出進(jìn)價(jià)20%標(biāo)價(jià).已知按標(biāo)價(jià)的九折銷售這款汽車9輛與將標(biāo)價(jià)直降0.2萬(wàn)元銷售4輛獲利相同.
(1)求該款汽車的進(jìn)價(jià)和標(biāo)價(jià)分別是多少萬(wàn)元?
(2)若該款汽車的進(jìn)價(jià)不變,按(1)中所求的標(biāo)價(jià)出售,該店平均每月可售出這款汽車20輛;若每輛汽車每降價(jià)0.1萬(wàn)元,則每月可多售出2輛.求該款汽車降價(jià)多少萬(wàn)元出售每月獲利最大?最大利潤(rùn)是多少?
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