Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是邊AD、AB上的點，連結(jié)OE、OF、EF．若AB=7，BC=5，∠DAB=45°，則①點C到直線AB的距離是_____.②△OEF周長的最小值是________．

Answer 1

【答案】5

【解析】

①過D作DP⊥AB于P,,則△ADP是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到,進而求得AP=DP=5；

②作點O關(guān)于AB的對稱點M,點O關(guān)于AD的對稱點N,連接MN交AB于F交AD于E,則△OEF周長的最小, △OEF周長的最小值=MN,由作圖得: AN=AO=AM, ∠NAD=∠DAO, ∠MAB=∠BAO,于是得到.根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到,,根據(jù)勾股定理得到,然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

①過D作DP⊥AB于P,
則A△DP是等腰直角三角形,
,

,

∴AP=DP=sin45°×5=5；

②作點O關(guān)于AB的對稱點M,點O關(guān)于AD的對稱點N,連接MN交AB于F交AD于E,則△OEF周長的最小, △OEF周長的最小值=MN,

由作圖得:AN=AO=AM, ∠NAD=∠DAO, ∠MAB=∠BAO,

,

,

∵OM⊥AB于Q,

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,

,

,

,

,
,

,

∴△OEF周長的最小值是.
故答案為①5；② .