Question

【題目】已知：平行四邊形，對角線點P為射線BC上一點，，（點M與點B分別在直線AP的兩側(cè)），且聯(lián)結(jié)MD.

（1）當(dāng)點M在內(nèi)時，如圖一，設(shè)求關(guān)于的函數(shù)解析式.

（2）請在圖二中畫出符合題意得示意圖，并探究：圖中是否存在與相似的三角形？若存在，請寫出證明過程，若不存在，請說明理由

（3）當(dāng)為等腰三角形時，求的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）7.5或3或27.

【解析】

（1）作AE⊥BC于E，先在Rt△ABC中運用勾股定理求出BC=15，再解Rt△ABE，得到AE=，BE=，然后在Rt△AEP中，利用勾股定理得AP2=PE2+AE2，即可求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）先由兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明出△APM∽△ACD，則AP：AC=AM：AD，即AP：AM=AC：AD，又由∠PAM=∠CAD，得出∠PAC=∠MAD，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似即可得到△PAC∽△MAD；
（3）先由相似三角形的形狀相同，由（2）得出△APC為等腰三角形，再分兩種情況進(jìn)行討論：①點M在平行四邊形內(nèi)；②點M在平行四邊形外；又分兩種情況：（i）P在BC上，（ii）P在BC的延長線上．

解：（1）如圖，作AE⊥BC于E，

在Rt△ABC中，∵AB=9，AC=12，

∴BC=15，

∵△ABE∽△CBA，

∴BE=，AE=

∵BP= ，∴PE=，

在Rt△AEP中，

∴

(2) 存在，，

∵∠PAM=∠CAD，∠APM=∠ACD=90°，
∴△APM∽△ACD，

∴

∴

∵，

∴∠PAC=∠MAD，

∴

（3）∵△PAC∽△MAD，

∴當(dāng)△AMD為等腰三角形時，△APC也為等腰三角形，

①當(dāng)點M在平行四邊形內(nèi)時，如圖1．點P只能在EC上,
∵∠APC為鈍角，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PC=PA，
又∵∠PAB=90°-∠PAC，∠B=90°-∠PCA，
∴∠PAB=∠B，∴PA=PB，
∴PA=PB=PC=BC=，
即BP=7.5；
②當(dāng)點M在平行四邊形外時，
（i）若P在BC上，如圖2．點P只能在BE上,
∵AP＜AC，AP＜PC，
∴CA=CP=12，則BP=15-12=3；
（ii）若P在BC的延長線上，如圖3,
∵AP＞AC，AP＞PC，
∴CA=CP=12，則BP=15+12=27．
綜上可知，當(dāng)△AMD為等腰三角形時，BP的長為7.5或3或27．