如圖,已知菱形ABCD邊長(zhǎng)為6
3
,∠ABC=120°,點(diǎn)P在線段BC延長(zhǎng)線上,半徑為r1的圓O1與DC、CP、DP分別相切于點(diǎn)H、F、N,半徑為r2的圓O2與PD延長(zhǎng)線、CB延長(zhǎng)線和BD分別相切于點(diǎn)M、E、G.
(1)求菱形的面積;
(2)求證:EF=MN;
(3)求r1+r2的值.
分析:(1)由于菱形ABCD邊長(zhǎng)為6
3
,∠ABC=120°,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到ADC和△DBC都是等邊三角形,利用等邊三角形的面積等于邊長(zhǎng)平方的
3
4
倍即可得到菱形的面積=2S△DBC=2×
3
4
×(6
3
2=54
3

(2)由于PM與PE都是⊙O1的切線,PN與PF都是⊙O2的切線,根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到PM=PN,PN=PE,則PM-PN=PE-PB,即EF=MN;
(3)由于BE與BG都是⊙O1的切線,根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理得到BE=BG,∠O2BE=∠O2BG,O2E⊥BE,而∠EBG=180°-∠DBC=180°-60°=120°,于是有∠O2BE=60°,∠EO2B=30°,根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到BE=
3
3
O2E=
3
3
r2,則BG=
3
3
r2,DM=DG=6
3
-
3
3
r2,同理可得CF=
3
3
r1,DN=DH=6
3
-
3
3
r1,則MN=DM+DN=12
3
-
3
3
(r1+r2),而EF=EB+BC+CF=
3
3
r2+6
3
+
3
3
r1=6
3
+
3
3
(r1+r2),利用EF=MN可得到關(guān)于(r1+r2)的方程,解方程即可.
解答:(1)解:∵菱形ABCD邊長(zhǎng)為6
3
,∠ABC=120°,
∴△ADC和△DBC都是等邊三角形,
∴菱形的面積=2S△DBC=2×
3
4
×(6
3
2=54
3


(2)證明:∵PM與PE都是⊙O2的切線,
∴PM=PE,
又∵PN與PF都是⊙O1的切線,
∴PN=PF,
∴PM-PN=PE-PB,即EF=MN;

(3)解:∵BE與BG都是⊙O2的切線,
∴BE=BG,∠O2BE=∠O2BG,O2E⊥BE,
而∠EBG=180°-∠DBC=180°-60°=120°,
∴∠O2BE=60°,∠EO2B=30°,
∴BE=
3
3
O2E=
3
3
r2,
∴BG=
3
3
r2
∴DM=DG=6
3
-
3
3
r2,
同理可得CF=
3
3
r1,DN=DH=6
3
-
3
3
r1
∴MN=DM+DN=12
3
-
3
3
(r1+r2),
∵EF=EB+BC+CF=
3
3
r2+6
3
+
3
3
r1=6
3
+
3
3
(r1+r2),
而EF=MN,
∴6
3
+
3
3
(r1+r2)=12
3
-
3
3
(r1+r2),
∴r1+r2=9.
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓的綜合題:圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑;從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,切線長(zhǎng)相等,并且這個(gè)點(diǎn)與圓心的連線平分兩切線的夾角;掌握菱形的性質(zhì),記住等邊三角形的面積等于邊長(zhǎng)平方的
3
4
倍以及含30°的直角三角形三邊的關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1.5cm,B,C兩點(diǎn)在扇形AEF的
EF
上,求
BC
的長(zhǎng)度及扇形ABC的面積.

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精英家教網(wǎng)如圖,已知菱形ABCD的周長(zhǎng)為16cm,∠ABC=60°,對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,求AC和BD的長(zhǎng).

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25、如圖,已知菱形ADEF和等腰三角形ABC,AB=AC,∠BAC=54°,點(diǎn)B、C分別在DE、EF.(B、C分別不與E、F重合)
(1)如圖1,當(dāng)AE平分∠BAC時(shí),
①求證:BD=CF;
②當(dāng)AD=AB時(shí),求∠ABD的度數(shù);
(2)如圖2,當(dāng)AE不平分∠BAC時(shí),若△ADB是一個(gè)等腰三角形,求∠ABD的度數(shù).

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如圖,已知菱形ABCD為2cm.B、C兩點(diǎn)在以點(diǎn)A為圓心的
EF
上,求
BC
的長(zhǎng)度及扇形ABC的面積.(結(jié)果保留π)

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