Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A（-

1

2

，0），B（2，0），且與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；
（2）點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上一動點(diǎn)，連接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，求出使四邊形POP′C為菱形的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在此拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，B，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式即可，再利用勾股定理逆定理得出△ABC的形狀；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出PC=PO，進(jìn)而求出x2-

3

2

x-1=-

1

2

，得出x的值，即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）分別從若以BC為底邊，則BC∥AQ，以及κ若以AC為底邊，則BQ∥AC，分別分析即可得出答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，將A（-

1

2

，0），B（2，0）代入y=x²+bx+c中，
解得拋物線的解析式為y=x2-

3

2

x-1，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-1．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1）．
∴在△AOC中，AC=

OA2+OC2

=

( 1 2 )2+12

=

5

2

．
在△BOC中，BC=

OB2+OC2

=

22+12

=

5

．
AB=OA+OB=

1

2

+2=

5

2

，
∵AC²+BC²=

5

4

+5=

25

4

=AB²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2-

3

2

x-1），PP′交CO于E，
∵四邊形POP′C是菱形，
∴PC=PO．
連接PP′則PE⊥CO于E，
∴OE=EC=

1

2

，
∴y=-

1

2

．
∴x2-

3

2

x-1=-

1

2

，
解得x₁=

3+ 17

4

，x₂=

3- 17

4

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3+ 17

4

，-

1

2

）或（

3- 17

4

，-

1

2

）；

（3）存在．由（1）知，AC⊥BC，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a2-

3

2

a-1），
①若以BC為底邊，則BC∥AQ，
∴∠ABC=∠QAB如圖①
過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于點(diǎn)E，則有△QAE∽△ABC，
∴

QE

AC

=

AE

BC

∴

a2- 3 2 a-1

5 2

=

a+ 1 2

5

，
解得a₁=

5

2

，a₂=-

1

2

（舍去）．
當(dāng)a=

5

2

時(shí)，y=

3

2

，
∴點(diǎn)Q（

5

2

，

3

2

），
②若以AC為底邊，則BQ∥AC，
∴∠CAB=∠QBA如圖②
過點(diǎn)Q作QF⊥x軸于點(diǎn)F，則有△QBF∽△BAC，
∴

QF

BC

=

BF

AC

，
∴

a2- 3 2 a-1

5

=

2-a

5 2

，
解得a₁=-

5

2

，a₂=2（舍去），
當(dāng)a=-

5

2

時(shí)，y=9，
∴點(diǎn)Q（-

5

2

，9），
綜上所述，滿足題目條件的點(diǎn)Q為（

5

2

，

3

2

）或（-

5

2

，9）．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．