Question

【題目】如圖，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，E 為 BC 上一點(diǎn)，以 CE 為直徑作⊙O 恰好經(jīng)過 A、C 兩點(diǎn)， PF⊥BC 交 BC 于點(diǎn) G，交 AC 于點(diǎn) F．

（1）求證：AB 是⊙O 的切線；

（2）如果 CF =2，CP =3，求⊙O 的直徑 EC．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O 的直徑 EC= 3.

【解析】

（1）若要證明AB是⊙O的切線，則可連接AO，再證明AO⊥AB即可．
（2）連接OP，設(shè)OG為x，在直角三角形FCG中，由CF和角ACB為30°，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半及勾股定理求出CG的長，即可表示出半徑OC和OP的長，在直角三角形CGP中利用勾股定理表示出PG的長，然后在直角三角形OPG中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，然后求出直徑即可．

證明：（1）連接AO，

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠ACB=30°，

∵AO=CO，

∴∠0AC=∠OCA=30°，

∴∠BAO=120°-30°=90°，

∵OA 是半徑

∴AB 是⊙O 的切線；

（2）解：連接OP，

∵PF⊥BC，∴∠FGC=∠EGP=90°，

∵CF=2，∠FCG=30°，∴FG=1，

∴在 Rt△FGC 中 CG=

∵CP=3． ∴Rt△GPC 中，PG=

設(shè) OG=x，則 OC=x+，連接 OP，，顯然 OP=OC=x+

在 Rt△OPG 中，由勾股定理知

即(x+)2=x2+()2∴ x .

∴⊙O 的直徑 EC=EG+CG=2x++=3.

故答案為：（1）見解析；（2）⊙O 的直徑 EC= 3.